eng
TS_pub
technospheramag
technospheramag
ТЕХНОСФЕРА_РИЦ
Выпуск #1/2023
Ю. В. Филатов, А. С. Кукаев, В. Ю. Венедиктов, А. А. Севрюгин, Е. В. Шалымов
Микрооптические гироскопы на основе резонаторов мод шепчущей галереи
Микрооптические гироскопы на основе резонаторов мод шепчущей галереи
Просмотры: 1445
DOI: 10.22184/1993-7296.FRos.2023.17.1.26.44
Оптические гироскопы, такие как кольцевые лазерные и волоконно-оптические, стали основой для бесплатформенных инерциальных навигационных систем благодаря ряду преимуществ: большому диапазону измеряемых угловых скоростей, высокой стабильности масштабного коэффициента, нечувствительности к ускорению и перегрузке, меньшему времени готовности и т. д. Несмотря на успех в их разработке, такие гироскопы непригодны для использования в системах управления небольшими портативными устройствами из-за своих больших размеров и веса. Поэтому миниатюризация оптических гироскопов сейчас является актуальной задачей. Статья посвящена разработке и исследованию микрооптического гироскопа.
Оптические гироскопы, такие как кольцевые лазерные и волоконно-оптические, стали основой для бесплатформенных инерциальных навигационных систем благодаря ряду преимуществ: большому диапазону измеряемых угловых скоростей, высокой стабильности масштабного коэффициента, нечувствительности к ускорению и перегрузке, меньшему времени готовности и т. д. Несмотря на успех в их разработке, такие гироскопы непригодны для использования в системах управления небольшими портативными устройствами из-за своих больших размеров и веса. Поэтому миниатюризация оптических гироскопов сейчас является актуальной задачей. Статья посвящена разработке и исследованию микрооптического гироскопа.
Теги: angular velocity sensor microoptical gyros reciprocal frequency shift whispering gallery mode resonators взаимный сдвиг частоты датчик угловой скорости микрооптические гироскопы резонаторы галереи шепчущих мод
Микрооптические гироскопы на основе резонаторов мод шепчущей галереи
Ю. В. Филатов, А. С. Кукаев, В. Ю. Венедиктов,
А. А. Севрюгин, Е. В. Шалымов
Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»,
Санкт-Петербург, Россия
Оптические гироскопы, такие как кольцевые лазерные и волоконно-оптические, стали основой для бесплатформенных инерциальных навигационных систем благодаря ряду преимуществ: большому диапазону измеряемых угловых скоростей, высокой стабильности масштабного коэффициента, нечувствительности к ускорению и перегрузке, меньшему времени готовности и т. д. Несмотря на успех в их разработке, такие гироскопы непригодны для использования в системах управления небольшими портативными устройствами из-за своих больших размеров и веса. Поэтому миниатюризация оптических гироскопов сейчас является актуальной задачей. Статья посвящена разработке и исследованию микрооптического гироскопа.
Ключевые слова: микрооптические гироскопы, резонаторы галереи шепчущих мод, датчик угловой скорости, взаимный сдвиг частоты
Статья получена: 31.10.2022
Статья принята: 21.11.2022
В течение последнего десятилетия основная деятельность в области разработки микрооптических гироскопов была сосредоточена на схеме устройства, основанной на использовании пассивных кольцевых одномодовых резонаторов, которые обычно изготавливаются с использованием планарных интегральных оптических технологий.
Также в качестве чувствительного элемента гироскопа вместо планарного одномодового резонатора могут быть использованы резонаторы мод шепчущей галереи. Это обусловлено их полезными свойствами: высочайшей добротностью, малым объемом собственных мод, компактностью и относительной простотой изготовления.
В данной работе мы рассматриваем эффекты, возникающие в резонаторе мод шепчущей галереи при его вращении, и возможные способы их применения в качестве чувствительного элемента микрооптического гироскопа.
1. Введение
Миниатюризация – один из важнейших процессов, определяющих современные технологии, устройства и даже образ жизни. Если мы взглянем на историю развития гироскопов, то увидим, что механические гироскопы были изобретены раньше оптических, и их миниатюризация также была произведена раньше. МЭМС-гироскопы уже широко распространены и охватывают огромную часть рынка датчиков благодаря их использованию в БПЛА, робототехнике и даже смартфонах. Сегодня преимущества, которые позволили оптическим гироскопам занять свое место, продвигают идею разработки микрооптического гироскопа (МОГ).
Чувствительным элементом большинства МОГ является пассивный кольцевой резонатор (ПКР). Его тип определяет технологию изготовления всего прибора, потенциальную чувствительность, минимально возможные размеры и многие другие характеристики гироскопа. Таким образом, МОГ удобно классифицировать в зависимости от типа используемого ПКР (рис. 1).
Обычно в качестве чувствительного элемента используются волноводные ПКР [1]. Чаще всего они изготавливаются из плоских волноводов. Они также могут быть изготовлены из волокна или фотонных кристаллов. В этом случае используются только одномодовые волноводы. Как и во всех оптических гироскопических системах, использование многомодовых волноводов невозможно из-за дисперсии мод. По той же причине нельзя использовать обычные открытые резонаторы. Хотя возможно использование одного из специфических подвидов – конфокальных кольцевых резонаторов [2]. Отдельное место занимают гироскопы, построенные на основе резонаторов мод шепчущей галереи (МШГ). С недавних пор они стали рассматриваться как перспективные чувствительные элементы для МОГ. Рассмотрим их более подробно.
Феномен шепчущей галереи известен уже несколько столетий благодаря различным архитектурным памятникам. Например, «Стена Эха», которая окружает внутренний двор Императорского Храма Небес в Пекине (рис. 2). Стена сделана из специального кирпича из города Линьцин, провинция Шаньдун. Эти кирпичи хорошо обработаны и имеют одинаковую структуру. Если разбить такой кирпич, то можно увидеть, что в нем практически нет пор. Такие кирпичи прекрасно отражают акустическую волну и практически не поглощают ее энергию. Явление заключается в том, что звук (шепот) распространяется по вогнутой поверхности стены, а не по кратчайшему пути.
Подобные явления наблюдаются под куполами некоторых соборов. Например, в соборе Святого Павла в Лондоне (рис. 2), где это явление было исследовано и научно описано лордом Рэлеем в XIX веке. Для его описания ученый ввел термин – мода шепчущей галереи (МШГ) [3]. Позже были также открыты оптические МШГ и разработаны соответствующие резонаторы. Обычно это диэлектрические осесимметричные резонаторы с гладкими краями, которые поддерживают МШГ за счет полного внутреннего отражения на поверхности резонатора (капиллярные, сферические, тороидальные, дисковые, кольцевые и резонаторы типа «бутылочное горлышко») [4]. Оптические резонаторы МШГ характеризуются сверхвысокой добротностью (до 109 и более), компактными размерами (от нескольких сантиметров до нескольких микрон) и ограниченным числом собственных частот. В связи с этим они рассматриваются как перспективные чувствительные элементы для различных компактных устройств и систем. В частности, такие резонаторы могут быть использованы для измерения угловой скорости.
2. Измерение угловой скорости по взаимному сдвигу частоты мод шепчущей галереи
Рассмотрим поперечное сечение резонатора МШГ (рис. 3). Предположим, что излучение вводится в резонатор и выходит из него через вспомогательный волновод, соединенный с резонатором, благодаря эффекту оптического туннелирования. Как известно, центробежные силы, вызванные вращением материальных объектов, могут приводить к их механической деформации. Это также верно для резонаторов мод шепчущей галереи. Вращение резонаторов МШГ относительно инерциального пространства вызывает изменение радиуса рабочего сечения резонатора, равное ΔR. Частоты МШГ обратно пропорциональны радиусу поперечного сечения резонатора, т. е. уменьшаются с увеличением радиуса [3]. Таким образом, под действием центробежных сил возникает взаимный (одинаковый для противоположных направлений обхода резонатора) сдвиг МШГ ΔfC (рис. 4).
Взаимный сдвиг частоты, вызванный вращением сферического резонатора МШГ вокруг оси, перпендикулярной его поперечному сечению и проходящей через его центр (вокруг главной оси чувствительности), описывается следующим уравнением [5]:
, (1)
где fm,CW и fm,CCW – частоты МШГ волн, проходящих через резонатор по часовой стрелке и против часовой стрелки соответственно; fm – частота МШГ стационарного резонатора; R0 – радиус рабочей секции стационарного резонатора; KC – масштабный коэффициент эффекта; ρ – плотность резонатора; ν – коэффициент Пуассона; G – модуль Юнга.
Понятно, что масштабный коэффициент KC определяется не только свойствами материала резонатора и его размером, но и зависит от его формы. При использовании резонаторов МШГ другой формы (например тороидальных) уравнение (1) несколько изменяется, но сохраняется квадратичная зависимость сдвига ΔfC от угловой скорости Ω и радиуса рабочего сечения R0.
Описанный эффект может быть использован для измерения угловой скорости. Понятно, что чем тяжелее и мягче резонатор, тем заметнее эффект. При использовании резонаторов, изготовленных из мягких полимеров, описанный эффект может преобладать над другими эффектами, вызывающими сдвиг частоты МШГ [6]. Например, рассмотрим сферический резонатор МШГ, изготовленный из полидиметилсилоксана с 1 / 60 частью отвердителя (60 : 1 ПДМС) со следующими параметрами: R0 = 0,5 мм; ρ = 960 кг / м3; ν = 0,49; G = 1 000 Па. Предположим, что свет частота fm составляет около 2 · 1014 Гц (что соответствует длине волны в вакууме около 1,5 мкм). Согласно уравнению (1), взаимный сдвиг частоты ΔfC будет соответствовать графику на рисунке 5. Таким образом, если частота fm известна, то, сканируя резонатор по частоте, можно определить взаимный сдвиг МШГ ΔfC и вычислить соответствующую угловую скорость.
3. Проблемы, связанные с измерением угловой скорости по взаимному сдвигу частоты мод шепчущей галереи,
и их решение
3.1. Влияние факторов внешней среды
Существует несколько проблем, которые усложняют измерение угловой скорости по взаимному смещению МШГ. Например, влияние различных внешних факторов (температура, давление и т. д.) на радиус рабочего сечения резонатора. Это приводит к паразитному взаимному сдвигу частоты, который трудно отличить от ΔfC. Эта проблема может быть решена путем перехода к измерению угловой скорости по расщеплению частот соседних МШГ с разными азимутальными индексами [7]. Известно, что при вращении резонаторов МШГ изменяется не только радиус их рабочего сечения, но и их форма. Например, сферический резонатор МШГ при вращении принимает форму эллипсоида вращения [6]. Обычно моды сферического резонатора с разными азимутальными индексами n, но одинаковыми полярными m являются вырожденными по частоте [3]. При вращении отклонение формы резонатора от сферической устраняет это вырождение. Для эллипсоида с небольшим эксцентриситетом верно следующее выражение [3]:
, (2)
где Δa – отклонение меньшей полуоси эллипсоида от радиуса шара. Основываясь на уравнении (2), разность частот между соседними МШГ с разными азимутальными индексами (отличающимися индексом n на единицу):
. (3)
Отклонение меньшей полуоси эллипсоида от радиуса сферы Δa пропорционально изменению радиуса рабочей секции ΔR резонатора МШГ. Соотношение сторон зависит от материала резонатора. Для рассмотренного выше сферического резонатора МШГ (изготовленного из 60 : 1 ПДМС с ν = 0,49) Δa = 2ΔR. Учитывая вышесказанное, преобразуем уравнение (3) следующим образом:
. (4)
Таким образом, в результате действия центробежных сил происходит разделение частот МШГ с разными значениями азимутальных индексов. Регистрируя разность частот между соседними МШГ, можно определить скорость вращения резонатора. Изменение параметров окружающей среды приводит к изотропному изменению радиуса резонатора и появлению соответствующего взаимного сдвига частоты МШГ, но форма резонатора сохраняется. Следовательно, при измерении угловой скорости по расщеплению соседних мод сферического резонатора с разными азимутальными индексами нет необходимости стабилизировать параметры окружающей среды. Однако описанный способ измерения угловой скорости также имеет серьезный недостаток. Сравнивая уравнения (1) и (4), легко увидеть, что расщепление частот МШГ ΔfE, вызванное центробежными силами, всегда меньше, чем взаимный сдвиг частоты ΔfC, т. е. при измерении угловой скорости по расщеплению соседних МШГ чувствительность снижается в разы М:
. (5)
Для рассмотренного выше резонатора МШГ n ≈ m = 2 930 и М ≈ 244. Используя уравнение (4), мы можем определить расщепление частоты МШГ ΔfE, наблюдаемое при Ω = 50 рад/с. Это будет около 22 МГц. Тем не менее, ширина пика сферического резонатора МШГ может составлять несколько сотен кГц или меньше [3], что позволяет различать отдельные спектральные линии МШГ с различными азимутальными индексами в спектре резонатора и измерять угловую скорость по ΔfE.
3.2. Перекрестная чувствительность
Другой проблемой, связанной с измерением угловой скорости по взаимному смещению МШГ, является наличие паразитной перекрестной чувствительности (вдоль ортогональных осей). Поскольку ориентация оси вращения в общем случае неизвестна, чувствительность к компоненте угловой скорости, перпендикулярной главной оси чувствительности, может привести к неопределенности результатов измерений. Используя результаты расчетов компьютерных моделей, полученные методом конечных элементов, была проанализирована перекрестная чувствительность различных типов резонаторов МШГ: сферических, тороидальных, дискообразных и типа «бутылочное горлышко» [9–11].
Было определено, что величина и знак перекрестной чувствительности зависят от формы используемого резонатора МШГ. Когда сферический резонатор вращается вокруг паразитной оси чувствительности, перпендикулярной основной оси чувствительности, его рабочее сечение деформируется из окружности в эллипс. В этом случае малая ось эллипса соответствует паразитной оси чувствительности. Чем выше угловая скорость, тем больше эксцентриситет эллипса. Моделирование показало, что в этом случае путь, пройденный волнами за один оборот резонатора туда и обратно, уменьшается. Частота сферического резонатора МШГ смещена в направлении, противоположном случаю вращения вокруг главной оси чувствительности [9]. При аналогичном вращении тороидальных или дискообразных резонаторов рабочее сечение также деформируется из окружности в эллипс. В этом случае, в отличие от сферического резонатора, путь, пройденный волнами, увеличивается за один оборот резонатора. Частота торообразного и дискообразного резонаторов МШГ смещается в направлении, совпадающем с направлением сдвига, наблюдаемом при вращении вокруг главной оси чувствительности [10]. Резонаторы типа «бутылочное горлышко» отличаются от других. Они замечательны тем, что знак их перекрестной чувствительности может меняться при изменении их геометрических параметров [11]. Такие резонаторы МШГ представляют собой цилиндрический стержень с утолщением, играющим роль резонатора (рис. 6). В этом случае обе части резонатора могут быть изготовлены либо из одних и тех же, либо из разных материалов. Геометрия резонаторов типа «бутылочное горлышко» может быть описана довольно точно с использованием параметров r, R0 и rst, указанных на рисунке 6 [12].
Более того, при определенных значениях геометрических параметров горлышка резонатора (конкретные значения зависят от используемых материалов) его перекрестная чувствительность становится незначительной по сравнению с чувствительностью к вращению вокруг главной оси. Например, это наблюдается в резонаторе, полностью изготовленном из плавленого кварца с r = 250 мкм, R0 = 600 мкм и rst = 108 мкм.
Также возможно решить проблему, связанную с паразитной перекрестной чувствительностью, используя триаду МШГ резонаторов любого типа, рабочие сечения которых взаимно ортогональны друг другу.
3.3. Неоднозначность измерений и нелинейность выходной характеристики
Другой существенной проблемой является взаимный характер сдвига частоты (см. уравнение (1) и рис. 5), который не позволяет определить знак угловой скорости (направление вращения), и нелинейность масштабного коэффициента (квадратичная зависимость эффекта от угловой скорости), что приводит к снижению чувствительности в области низких угловых скоростей (рис. 5). Для решения этих проблем был разработан метод, основанный на применении начального смещения рабочей точки выходной характеристики [13]. Были рассмотрены перспективы использования как постоянных, так и переменных начальных смещений. Использование постоянного смещения оправдано, когда измеряемая угловая скорость Ωx намного меньше смещения Ωb. Такое смещение может быть реализовано, например, путем размещения резонатора МШГ на оси двигателя. Предположим, что при включении двигателя резонатор начинает вращаться вокруг главной оси чувствительности в положительном направлении (против часовой стрелки) с определенной постоянной угловой скоростью Ωb. В результате такого вращения резонатор деформируется, радиус его рабочего сечения увеличивается, а частота его моды fm уменьшается на некоторую величину Δfb и становится равной fb. (рис. 7).
Когда описанная система (двигатель с резонатором МШГ) вращается относительно инерциального пространства с угловой скоростью Ωx, мода резонатора будет испытывать дополнительный сдвиг частоты Δfx:
. (6)
Если искомая скорость вращения Ωx совпадает по знаку с угловой скоростью смещения Ωb, то общая угловая скорость WGM резонатора увеличивается. В этом случае частоты мод fm,CW и fm,CCW становятся ниже, чем fb (на рис. 7 соответствует fm,CW1), и дополнительный сдвиг частоты Δfx будет положительным. Если искомая скорость вращения Ωx имеет знак, противоположный угловой скорости смещения Ωb, то общая угловая скорость резонатора МШГ уменьшится. В этом случае частоты режима fm,CW и fm,CCW станут выше, чем fb, и дополнительный сдвиг частоты Δfx будет отрицательным. Учитывая, что fm – fm,CCW = KC(Ωb + Ωx)2 и Δfb = KC(Ωb)2, мы можем преобразовать уравнение (6) следующим образом:
. (7)
Поскольку скорость вращения Ωb и частота fb известны, то путем сканирования резонатора по частоте можно определить Δfx и вычислить соответствующую искомую угловую скорость вращения всей системы Ωx. Как видно из уравнения (7), для |Ωb| >> |Ωx| сдвиг Δfx является невзаимным (меняет знак при изменении направления вращения).
В результате использование постоянного смещения позволяет судить не только о величине угловой скорости Ωx, но и о ее знаке. При условии |Ωb| >> |Ωx| вклад второго члена в уравнении (7) незначителен, и выходная характеристика становится близкой к линейной. Для наглядности на рисунке 8 показаны выходные характеристики для рассмотренного выше резонатора МШГ, соответствующие различным значениям постоянного смещения Ωb.
Основываясь на графиках на рис. 8 и уравнении (7), можно сделать вывод, что недопустимо использовать постоянное смещение при определении значений угловых скоростей |Ωx| ≥ 0,5|Ωb|, поскольку в этом случае возникает погрешность измерения Ωx. Также легко видеть, что чем выше значение смещения Ωb, тем больше чувствительность к измеренной угловой скорости Ωx и тем ниже нелинейность выходной характеристики. Используя уравнения (1) и (7), мы можем оценить, во сколько раз увеличивается чувствительность к угловой скорости при использовании постоянного смещения:
. (8)
Следует отметить, что использование постоянного смещения может привести к появлению дополнительной погрешности измерения из-за нестабильности Ωb. Это предъявляет высокие требования к двигателю, используемому для создания постоянного смещения, и снижает интерес к его практической реализации.
При использовании переменного смещения для измерения угловой скорости по взаимному сдвигу частоты МШГ требования к характеристикам привода более мягкие. Такое смещение может быть реализовано, например, путем крепления резонатора МШГ на пьезокерамическом стержне или цилиндре. Когда периодический электрический сигнал подается на электроды, определенным образом размещенные на поверхности пьезокерамики [14, 15], в основании и закрепленном на нем резонаторе МШГ могут возбуждаться торсионные колебания. В этом случае угловая скорость переменного смещения будет определяться следующим уравнением:
, (9)
где Ωb0 – амплитуда переменного смещения; νb0 – частоты колебаний переменного смещения; t – время. Описанным способом, используя пьезокерамические стержни и цилиндры, можно возбуждать торсионные колебания частотой от сотен Гц до единиц ГГц и амплитудой до 1 000 рад/с и более [14].
Теперь давайте проанализируем, как изменяются частоты рассмотренного выше сферического резонатора МШГ с переменным смещением. Зададим для него следующие параметры: амплитуда Ωb0 = 40 рад/с, частота вибрации νb0 = 100 кГц. Если пьезокерамика с закрепленным на ней резонатором МШГ неподвижна относительно инерциального пространства, то, исходя из уравнений (1) и (9), наличие переменного смещения Ωb приводит к появлению гармонического сдвига частоты МШГ. Более того, очевидно, что частота этого гармонического сдвига будет равна удвоенной частоте переменного смещения (2νb0), а амплитуда равна KCΩb02.
Теперь предположим, что описанная система начала вращаться с определенной угловой скоростью Ωx относительно инерциального пространства. В этом случае для простоты будем считать, что значение Ωx в течение периода колебания смещения (τ = 1 / νb0) близко к постоянному (изменения Ωx за время τ на порядок меньше текущего значения Ωx). Тогда общая угловая скорость резонатора представляет собой сумму условно постоянной (медленно изменяющейся) величины Ωx и периодического переменного смещения Ωb (рис. 9). В результате изменяется амплитуда сдвига частоты МШГ. Экстремумы сдвига частоты МШГ периодически становятся равными либо Δf1, либо Δf2 (рис. 9). Более того, их разница зависит от значения искомой угловой скорости:
. (10)
Таким образом, если при использовании переменного смещения отследить величину сдвига ΔfC и вычислить значение Δfx, то с помощью уравнения 10 можно определить искомую угловую скорость Ωx. Также, используя переменное смещение, можно измерить угловую скорость в случае, когда значение Ωx динамически изменяется в течение периода τ. Однако изменения Ωx усредняются за период колебания смещения τ.
Рассмотрим преимущества использования переменного смещения. Для наглядности на рис. 10 показаны выходные характеристики, соответствующие различным значениям амплитуды переменного смещения Ωb0.
Как видно из рис. 10 и уравнения (10), использование переменного смещения позволяет судить не только о величине угловой скорости Ωx, но и о ее знаке. Кроме того, в этом случае выходная характеристика является линейной. Также легко видеть, что чем выше амплитуда переменного смещения Ωb0, тем больше чувствительность к измеренной угловой скорости Ωx. Используя уравнения (1) и (10), можно оценить, во сколько раз увеличивается чувствительность к угловой скорости при использовании переменного смещения:
. (11)
Из уравнения (11) очевидно, что использование переменного частотного смещения позволяет повысить чувствительность к угловой скорости, когда выполняется условие Ωb0 > 0,25Ωx. Требуемый диапазон измерений датчиков угла редко превышает ±100 рад / с, в то время как значения амплитуды переменного смещения Ωb0 более 1 000 рад / с достижимы. Таким образом, использование переменного частотного смещения позволяет повысить чувствительность во всем рабочем диапазоне датчиков угловой скорости. Также стоит отметить, что это позволяет решать другие описанные выше проблемы, связанные с измерением угловой скорости по взаимному смещению МШГ. Влияние различных внешних факторов (температура, давление и т. д.) и паразитная перекрестная чувствительность могут привести к взаимному сдвигу частот МШГ Δf. Величина этого паразитного сдвига Δf постоянна относительно искомой угловой скорости Ωx и угловой скорости смещения Ωb (т. е. угловой скорости при вращении вокруг главной оси чувствительности). Таким образом, при вычислении разности Δf1 – Δf2 паразитная составляющая Δf исключается (уравнение (10) и рис. 10). Сдвиг частоты Δf не влияет на вычисленное значение Δfx, которое пропорционально искомой угловой скорости Ωx.
4. Измерение угловой скорости с использованием эффекта Саньяка
Оптические резонаторы МШГ также могут быть использованы в качестве чувствительных элементов микрооптических гироскопов резонаторного типа [16]. В этом случае невзаимное смещение частот МШГ, вызванное эффектом Саньяка, служит мерой угловой скорости. Рассмотрим поперечное сечение резонатора МШГ (рис. 3). Как отмечалось выше, если резонатор неподвижен относительно инерциального пространства, то частоты МШГ для противоположных направлений его обхода (по часовой стрелке и против нее) равны. Когда резонатор вращается, из-за эффекта Саньяка частоты МШГ смещаются в противоположных направлениях (рис. 11).
Предположим, что взаимный сдвиг, вызванный центробежными силами, незначителен по сравнению с невзаимным сдвигом частот МШГ, вызванным эффектом Саньяка (это справедливо в случае, когда резонатор изготовлен из жесткого материала). Тогда величина сдвига частоты определяется следующим уравнением [17]:
, (12)
где fm,CW и fm,CCW – частоты МШГ волн, проходящих через резонатор по часовой стрелке и против нее соответственно; fm – частота МШГ стационарного резонатора; R – радиус поперечного сечения резонатора; C – скорость света в вакууме, Ω – угловая скорость.
Таким образом, сканируя резонатор по частоте, можно определить невзаимный сдвиг частоты ΔfS и вычислить пропорциональную ему угловую скорость. Как видно из уравнения (12), эффект Саньяка линеен по отношению к угловой скорости и позволяет определять направление вращения. Невзаимность эффекта позволяет исключить взаимные сдвиги частот МШГ при расчете разности частот резонаторов ΔfS, в том числе вызванные изменениями параметров внешней среды, а также вызванные центробежными силами ΔfC.
Однако согласно уравнению (1) центробежные силы также вызывают изменение радиуса рабочего сечения резонатора МШГ, который входит в масштабный коэффициент эффекта Саньяка (уравнение (12)). В результате можно переписать выражение, определяющее невзаимное смещение частот МШГ, с учетом влияния центробежных сил:
. (13)
Таким образом, масштабный коэффициент эффекта Саньяка становится нелинейным. Если не учитывать зависимость радиуса от скорости вращения (из-за действия центробежных сил), то появляется дополнительная систематическая ошибка.
При измерении угловой скорости с использованием эффекта Саньяка обычно используются жесткие (плавленый кварц или фторид кальция) резонаторы МШГ. В этом случае величина систематической ошибки, вызванной действием центробежной силы, невелика и становится существенной только при высоких угловых скоростях (более 103 рад / с). При необходимости можно устранить эту систематическую ошибку. Для этого, используя выражение (1), вычисляется поправка к радиусу рабочего сечения резонатора: ΔR = (fm – fm, CW) R0/fm. Также этот метод позволяет исключить систематическую ошибку, вызванную изменением радиуса резонатора из-за изменения параметров окружающей среды.
Предельная чувствительность резонаторных МОГ пропорциональна добротности используемого в них резонатора. Добротность лучших волноводных ПКР, обычно рассматриваемых в качестве чувствительного элемента МОГ, достигает 106–107 [16], в то время как в резонаторах МШГ она достигает более 109 [18]. Однако из-за специфической формы некоторых типов резонаторов МШГ (сферических, типа «бутылочное горлышко» и т. д.) их трудно интегрировать с другими элементами МОГ. Другие, более технологически продвинутые резонаторы МШГ (тороидальные, дискообразные) обычно характеризуются более низкой добротностью или выраженными нелинейными свойствами.
Сравним величины сдвигов МШГ, вызванных эффектом Саньяка и влиянием центробежных сил. Мы ограничиваемся рассмотрением сдвигов только в сферических резонаторах МШГ. Используя уравнения (1) и (12), мы можем получить уравнение, описывающее величину угловой скорости, при которой эти сдвиги МШГ равны:
. (14)
Графики на рис. 12 иллюстрируют зависимость угловой скорости Ωe от радиуса резонатора R0. Сравниваются сферические резонаторы МШГ, изготовленные из плавленого кремнезема или фторида кальция, мягкого оптического полимера (60 : 1 ПДМС). В области под отмеченными линиями (см. рис. 12) доминирует эффект Саньяка, а в области над ними (а также в увеличении на отдельном рисунке) доминирует влияние центробежных сил. Чем мягче и тяжелее материал и чем больше резонатор МШГ, тем ниже угловая скорость, при которой сдвиги ΔfC и ΔfS становятся равными.
В связи с вышесказанным идея одновременного использования двух эффектов для измерения угловой скорости представляется очень привлекательной. Это может быть реализовано по-разному. Во-первых, при достижении определенного значения угловой скорости (при достижении Ωe) можно просто переключаться между эффектами, используемыми для измерения. Производить измерения с использованием эффекта Саньяка при низких угловых скоростях (менее Ωe), а при высоких угловых скоростях (более Ωe) измерять угловую скорость по сдвигу частоты, вызванному центробежными силами. Также возможно реализовать одновременное измерение угловой скорости с использованием обоих эффектов, используя тот факт, что один из эффектов является взаимным, а другой – невзаимным. Определять сдвиг частоты МШГ, вызванный эффектом Саньяка, на основе разности частот МШГ волн, проходящих через резонатор в противоположных направлениях: ΔfS = fm,CW – fm,CCW. При этом одновременно вычисляется сдвиг частот МШГ, вызванный центробежными силами, используя сумму тех же частот МШГ: ΔfC = 0,5[2fm – (fm,CW + fm,CCW)]. В результате два устройства работают одновременно и используют разные физические эффекты, но на одном и том же резонаторе. Это должно позволить использовать преимущества обоих эффектов и повысить точность определения угловой скорости за счет комплексирования результатов измерений.
5. Заключение
В статье рассмотрен метод измерения угловой скорости по взаимному сдвигу частоты МШГ, вызванному воздействием центробежных сил. При использовании резонаторов, изготовленных из мягких полимеров, этот эффект может преобладать над другими эффектами, вызывающими сдвиг частоты МШГ. Тем не менее, несколько проблем на практике усложняют измерение угловой скорости по взаимному смещению МШГ.
Одной из проблем является влияние различных внешних факторов (температура, давление и т. д.) на радиус рабочего сечения резонатора. Это приводит к паразитному взаимному сдвигу частоты, который трудно отличить от сдвига ΔfC, с помощью которого определяется угловая скорость. Было продемонстрировано, что эта проблема может быть решена путем перехода к измерению угловой скорости путем разделения соседних частот МШГ с различными азимутальными индексами. В этом случае снижается чувствительность к угловой скорости.
Другой проблемой является наличие паразитной перекрестной чувствительности. Поскольку ориентация оси вращения в общем случае неизвестна, чувствительность к составляющей угловой скорости, перпендикулярной главной оси чувствительности, может привести к погрешности в результатах измерения. Было определено, что величина и знак этой перекрестной чувствительности зависят от формы используемого резонатора МШГ. Более того, при определенных значениях геометрических параметров (конкретные значения зависят от используемых материалов) резонаторов типа «бутылочное горлышко» их перекрестная чувствительность становится незначительной по сравнению с чувствительностью к вращению вокруг главной оси. Например, это наблюдается для резонатора, полностью изготовленного из плавленого кварца с r = 250 мкм, R0 = 600 мкм и rst = 108 мкм. Также эта проблема может быть решена с помощью триады резонаторов МШГ любого типа, рабочие сечения которых взаимно ортогональны друг другу.
Кроме того, существенными проблемами являются взаимный характер сдвига частоты, который не позволяет судить о знаке угловой скорости, и нелинейность масштабного коэффициента, что приводит к снижению чувствительности к малым угловым скоростям. Для решения этих проблем было предложено использовать начальное смещение рабочей точки выходной характеристики. Были рассмотрены перспективы использования как постоянных, так и переменных начальных смещений. Более перспективно использовать переменное смещение. В этом случае выходная характеристика становится линейной, а чувствительность во всем рабочем диапазоне датчиков угловой скорости увеличивается в 4 раза, что равно четырехкратному отношению угловой скорости смещения к измеренной угловой скорости. Это также позволяет решать другие описанные выше проблемы, связанные с измерением угловой скорости от возвратно-поступательного перемещения МШГ.
В работе рассматривался эффект Саньяка в резонаторах МШГ и особенности его применения для измерения угловой скорости таких резонаторов. В частности, было продемонстрировано, что из-за влияния центробежных сил масштабный коэффициент эффекта Саньяка становится нелинейным. Это может привести к дополнительной систематической ошибке измерения. Однако, поскольку при измерении угловой скорости с помощью эффекта Саньяка обычно используются жесткие резонаторы, величина этой систематической ошибки невелика и становится существенной только при высоких угловых скоростях (более 103 рад/с). Был описан способ компенсации этой ошибки, который также позволяет устранить систематическую ошибку, вызванную изменением радиуса резонатора из-за изменения параметров окружающей среды.
Кроме того, в работе сравниваются значения сдвигов МШГ, вызванных эффектом Саньяка и влиянием центробежных сил, и рассматривается идея одновременного использования этих эффектов для измерения угловой скорости.
Благодарность
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (грант № FSEE-2020-0005).
REFERENCES
Filatov Y. V. et al. Microoptical gyros on the base of passive ring resonators. Gyroscopes: Types, Functions and Applications. Nova Science Publishers. New York. 2019.
Filatov Y. V. et al. Modeling of a ring confocal resonator field. Optical Engineering. 2019; 58(7): 074103.
Oraevsky A. N. Whispering-gallery waves. Quantum Electronics. 2002; 32(5):377–400.
Vollmer F., Yang L. Label-free detection with high-Q microcavities: a review of biosensing mechanisms for integrated devices. Nanophotonics. 2012;1(3):267–291.
Amir R. A., Tindaro I. Effect of Angular Velocity on Sensors Based on Morphology Dependent Resonances. Sensors. 2014;14: 7041–7048.
Filatov Yu. V., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu., Dmitrieva A. D. The comparison of the influence of centrifugal forces and the Sagnac effect on a rotating whispering gallery modes resonators. Proc. SPIE. 2016;9992: 99920A.
Filatov Yu. V., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Use of Whispering Gallery Modes Frequency Splitting for Rotation Speed Measurement. Proc. of Advanced Photonics. 2018; SeW4E.3.
Filatov Yu. V., Kukaev A. S., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Investigation of a shift of whispering-gallery modes caused by deformations and tensions. Optical Engineering. 2017; 56(10):107104.
Venediktov V. Yu., Kukaev A. S., Filatov Yu. V., Shalymov E. V. Modelling of rotation-induced frequency shifts in whispering gallery modes. Quantum Electronics. 2018;48(2): 95–104.
Filatov Yu. V., Kukaev A. S., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Influence of the whispering-gallery mode resonators shape on its inertial movement sensitivity. Optical Engineering. 2018; 57(1): 014104.
Filatov Yu. V., Kukaev A. S., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Study of crosssensitivity of whispering gallery modes in bottle resonators to rotation. Optical Engineering. 2018;57(10): 107107.
Sumetsky M. Lasing microbottles. Light: Science & Applications. 2017;6(10): e17102.
Filatov Yu. V., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Alternating sign bias in the angular velocity sensors on the base of resonators of the whispering gallery modes. Proc. SPIE. 2018;10799: 107990K.
Bradfield G. Some experiments with barium titanate Il. Nuovo Cimento. 1950;7(2):182–189.
Mason W. P. Generation of Transverse Vibrations in Liquids. Patent US. 2490452. 1946.
Filatov Yu. V., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Passive ring resonator micro-optical gyroscopes. Quantum Electronics. 2016;46(5):437–446.
Filatov Yu. V., Kukaev A. S., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Future gyros on the base of whispering gallery mode resonators. Proc. 2017 Progress In Electromagnetics Research Symposium – Spring (PIERS). 2017; 3085–3089.
Matsko A. B., Savchenkov A. A., Strekalov D., Ilchenko V. S., Maleki L. Review of applications of whispering-gallery mode resonators in photonics and nonlinear optics. IPN Progress Report. 2005; 42: 42–162.
Об АВТОРАХ
Венедиктов Владимир Юрьевич, д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник, Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-0728-2050
Кукаев Александр Сергеевич, к.т.н., доцент, Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-9525-8412
Севрюгин Александр Алексеевич, к.ф.-м.н., ст. преподаватель, Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
Филатов Юрий Владимирович, д.т.н., профессор, зав.кафедрой лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-4388-8033
Шалымов Егор Вадимович, к.т.н., доцент, Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-0731-6978
Ю. В. Филатов, А. С. Кукаев, В. Ю. Венедиктов,
А. А. Севрюгин, Е. В. Шалымов
Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»,
Санкт-Петербург, Россия
Оптические гироскопы, такие как кольцевые лазерные и волоконно-оптические, стали основой для бесплатформенных инерциальных навигационных систем благодаря ряду преимуществ: большому диапазону измеряемых угловых скоростей, высокой стабильности масштабного коэффициента, нечувствительности к ускорению и перегрузке, меньшему времени готовности и т. д. Несмотря на успех в их разработке, такие гироскопы непригодны для использования в системах управления небольшими портативными устройствами из-за своих больших размеров и веса. Поэтому миниатюризация оптических гироскопов сейчас является актуальной задачей. Статья посвящена разработке и исследованию микрооптического гироскопа.
Ключевые слова: микрооптические гироскопы, резонаторы галереи шепчущих мод, датчик угловой скорости, взаимный сдвиг частоты
Статья получена: 31.10.2022
Статья принята: 21.11.2022
В течение последнего десятилетия основная деятельность в области разработки микрооптических гироскопов была сосредоточена на схеме устройства, основанной на использовании пассивных кольцевых одномодовых резонаторов, которые обычно изготавливаются с использованием планарных интегральных оптических технологий.
Также в качестве чувствительного элемента гироскопа вместо планарного одномодового резонатора могут быть использованы резонаторы мод шепчущей галереи. Это обусловлено их полезными свойствами: высочайшей добротностью, малым объемом собственных мод, компактностью и относительной простотой изготовления.
В данной работе мы рассматриваем эффекты, возникающие в резонаторе мод шепчущей галереи при его вращении, и возможные способы их применения в качестве чувствительного элемента микрооптического гироскопа.
1. Введение
Миниатюризация – один из важнейших процессов, определяющих современные технологии, устройства и даже образ жизни. Если мы взглянем на историю развития гироскопов, то увидим, что механические гироскопы были изобретены раньше оптических, и их миниатюризация также была произведена раньше. МЭМС-гироскопы уже широко распространены и охватывают огромную часть рынка датчиков благодаря их использованию в БПЛА, робототехнике и даже смартфонах. Сегодня преимущества, которые позволили оптическим гироскопам занять свое место, продвигают идею разработки микрооптического гироскопа (МОГ).
Чувствительным элементом большинства МОГ является пассивный кольцевой резонатор (ПКР). Его тип определяет технологию изготовления всего прибора, потенциальную чувствительность, минимально возможные размеры и многие другие характеристики гироскопа. Таким образом, МОГ удобно классифицировать в зависимости от типа используемого ПКР (рис. 1).
Обычно в качестве чувствительного элемента используются волноводные ПКР [1]. Чаще всего они изготавливаются из плоских волноводов. Они также могут быть изготовлены из волокна или фотонных кристаллов. В этом случае используются только одномодовые волноводы. Как и во всех оптических гироскопических системах, использование многомодовых волноводов невозможно из-за дисперсии мод. По той же причине нельзя использовать обычные открытые резонаторы. Хотя возможно использование одного из специфических подвидов – конфокальных кольцевых резонаторов [2]. Отдельное место занимают гироскопы, построенные на основе резонаторов мод шепчущей галереи (МШГ). С недавних пор они стали рассматриваться как перспективные чувствительные элементы для МОГ. Рассмотрим их более подробно.
Феномен шепчущей галереи известен уже несколько столетий благодаря различным архитектурным памятникам. Например, «Стена Эха», которая окружает внутренний двор Императорского Храма Небес в Пекине (рис. 2). Стена сделана из специального кирпича из города Линьцин, провинция Шаньдун. Эти кирпичи хорошо обработаны и имеют одинаковую структуру. Если разбить такой кирпич, то можно увидеть, что в нем практически нет пор. Такие кирпичи прекрасно отражают акустическую волну и практически не поглощают ее энергию. Явление заключается в том, что звук (шепот) распространяется по вогнутой поверхности стены, а не по кратчайшему пути.
Подобные явления наблюдаются под куполами некоторых соборов. Например, в соборе Святого Павла в Лондоне (рис. 2), где это явление было исследовано и научно описано лордом Рэлеем в XIX веке. Для его описания ученый ввел термин – мода шепчущей галереи (МШГ) [3]. Позже были также открыты оптические МШГ и разработаны соответствующие резонаторы. Обычно это диэлектрические осесимметричные резонаторы с гладкими краями, которые поддерживают МШГ за счет полного внутреннего отражения на поверхности резонатора (капиллярные, сферические, тороидальные, дисковые, кольцевые и резонаторы типа «бутылочное горлышко») [4]. Оптические резонаторы МШГ характеризуются сверхвысокой добротностью (до 109 и более), компактными размерами (от нескольких сантиметров до нескольких микрон) и ограниченным числом собственных частот. В связи с этим они рассматриваются как перспективные чувствительные элементы для различных компактных устройств и систем. В частности, такие резонаторы могут быть использованы для измерения угловой скорости.
2. Измерение угловой скорости по взаимному сдвигу частоты мод шепчущей галереи
Рассмотрим поперечное сечение резонатора МШГ (рис. 3). Предположим, что излучение вводится в резонатор и выходит из него через вспомогательный волновод, соединенный с резонатором, благодаря эффекту оптического туннелирования. Как известно, центробежные силы, вызванные вращением материальных объектов, могут приводить к их механической деформации. Это также верно для резонаторов мод шепчущей галереи. Вращение резонаторов МШГ относительно инерциального пространства вызывает изменение радиуса рабочего сечения резонатора, равное ΔR. Частоты МШГ обратно пропорциональны радиусу поперечного сечения резонатора, т. е. уменьшаются с увеличением радиуса [3]. Таким образом, под действием центробежных сил возникает взаимный (одинаковый для противоположных направлений обхода резонатора) сдвиг МШГ ΔfC (рис. 4).
Взаимный сдвиг частоты, вызванный вращением сферического резонатора МШГ вокруг оси, перпендикулярной его поперечному сечению и проходящей через его центр (вокруг главной оси чувствительности), описывается следующим уравнением [5]:
, (1)
где fm,CW и fm,CCW – частоты МШГ волн, проходящих через резонатор по часовой стрелке и против часовой стрелки соответственно; fm – частота МШГ стационарного резонатора; R0 – радиус рабочей секции стационарного резонатора; KC – масштабный коэффициент эффекта; ρ – плотность резонатора; ν – коэффициент Пуассона; G – модуль Юнга.
Понятно, что масштабный коэффициент KC определяется не только свойствами материала резонатора и его размером, но и зависит от его формы. При использовании резонаторов МШГ другой формы (например тороидальных) уравнение (1) несколько изменяется, но сохраняется квадратичная зависимость сдвига ΔfC от угловой скорости Ω и радиуса рабочего сечения R0.
Описанный эффект может быть использован для измерения угловой скорости. Понятно, что чем тяжелее и мягче резонатор, тем заметнее эффект. При использовании резонаторов, изготовленных из мягких полимеров, описанный эффект может преобладать над другими эффектами, вызывающими сдвиг частоты МШГ [6]. Например, рассмотрим сферический резонатор МШГ, изготовленный из полидиметилсилоксана с 1 / 60 частью отвердителя (60 : 1 ПДМС) со следующими параметрами: R0 = 0,5 мм; ρ = 960 кг / м3; ν = 0,49; G = 1 000 Па. Предположим, что свет частота fm составляет около 2 · 1014 Гц (что соответствует длине волны в вакууме около 1,5 мкм). Согласно уравнению (1), взаимный сдвиг частоты ΔfC будет соответствовать графику на рисунке 5. Таким образом, если частота fm известна, то, сканируя резонатор по частоте, можно определить взаимный сдвиг МШГ ΔfC и вычислить соответствующую угловую скорость.
3. Проблемы, связанные с измерением угловой скорости по взаимному сдвигу частоты мод шепчущей галереи,
и их решение
3.1. Влияние факторов внешней среды
Существует несколько проблем, которые усложняют измерение угловой скорости по взаимному смещению МШГ. Например, влияние различных внешних факторов (температура, давление и т. д.) на радиус рабочего сечения резонатора. Это приводит к паразитному взаимному сдвигу частоты, который трудно отличить от ΔfC. Эта проблема может быть решена путем перехода к измерению угловой скорости по расщеплению частот соседних МШГ с разными азимутальными индексами [7]. Известно, что при вращении резонаторов МШГ изменяется не только радиус их рабочего сечения, но и их форма. Например, сферический резонатор МШГ при вращении принимает форму эллипсоида вращения [6]. Обычно моды сферического резонатора с разными азимутальными индексами n, но одинаковыми полярными m являются вырожденными по частоте [3]. При вращении отклонение формы резонатора от сферической устраняет это вырождение. Для эллипсоида с небольшим эксцентриситетом верно следующее выражение [3]:
, (2)
где Δa – отклонение меньшей полуоси эллипсоида от радиуса шара. Основываясь на уравнении (2), разность частот между соседними МШГ с разными азимутальными индексами (отличающимися индексом n на единицу):
. (3)
Отклонение меньшей полуоси эллипсоида от радиуса сферы Δa пропорционально изменению радиуса рабочей секции ΔR резонатора МШГ. Соотношение сторон зависит от материала резонатора. Для рассмотренного выше сферического резонатора МШГ (изготовленного из 60 : 1 ПДМС с ν = 0,49) Δa = 2ΔR. Учитывая вышесказанное, преобразуем уравнение (3) следующим образом:
. (4)
Таким образом, в результате действия центробежных сил происходит разделение частот МШГ с разными значениями азимутальных индексов. Регистрируя разность частот между соседними МШГ, можно определить скорость вращения резонатора. Изменение параметров окружающей среды приводит к изотропному изменению радиуса резонатора и появлению соответствующего взаимного сдвига частоты МШГ, но форма резонатора сохраняется. Следовательно, при измерении угловой скорости по расщеплению соседних мод сферического резонатора с разными азимутальными индексами нет необходимости стабилизировать параметры окружающей среды. Однако описанный способ измерения угловой скорости также имеет серьезный недостаток. Сравнивая уравнения (1) и (4), легко увидеть, что расщепление частот МШГ ΔfE, вызванное центробежными силами, всегда меньше, чем взаимный сдвиг частоты ΔfC, т. е. при измерении угловой скорости по расщеплению соседних МШГ чувствительность снижается в разы М:
. (5)
Для рассмотренного выше резонатора МШГ n ≈ m = 2 930 и М ≈ 244. Используя уравнение (4), мы можем определить расщепление частоты МШГ ΔfE, наблюдаемое при Ω = 50 рад/с. Это будет около 22 МГц. Тем не менее, ширина пика сферического резонатора МШГ может составлять несколько сотен кГц или меньше [3], что позволяет различать отдельные спектральные линии МШГ с различными азимутальными индексами в спектре резонатора и измерять угловую скорость по ΔfE.
3.2. Перекрестная чувствительность
Другой проблемой, связанной с измерением угловой скорости по взаимному смещению МШГ, является наличие паразитной перекрестной чувствительности (вдоль ортогональных осей). Поскольку ориентация оси вращения в общем случае неизвестна, чувствительность к компоненте угловой скорости, перпендикулярной главной оси чувствительности, может привести к неопределенности результатов измерений. Используя результаты расчетов компьютерных моделей, полученные методом конечных элементов, была проанализирована перекрестная чувствительность различных типов резонаторов МШГ: сферических, тороидальных, дискообразных и типа «бутылочное горлышко» [9–11].
Было определено, что величина и знак перекрестной чувствительности зависят от формы используемого резонатора МШГ. Когда сферический резонатор вращается вокруг паразитной оси чувствительности, перпендикулярной основной оси чувствительности, его рабочее сечение деформируется из окружности в эллипс. В этом случае малая ось эллипса соответствует паразитной оси чувствительности. Чем выше угловая скорость, тем больше эксцентриситет эллипса. Моделирование показало, что в этом случае путь, пройденный волнами за один оборот резонатора туда и обратно, уменьшается. Частота сферического резонатора МШГ смещена в направлении, противоположном случаю вращения вокруг главной оси чувствительности [9]. При аналогичном вращении тороидальных или дискообразных резонаторов рабочее сечение также деформируется из окружности в эллипс. В этом случае, в отличие от сферического резонатора, путь, пройденный волнами, увеличивается за один оборот резонатора. Частота торообразного и дискообразного резонаторов МШГ смещается в направлении, совпадающем с направлением сдвига, наблюдаемом при вращении вокруг главной оси чувствительности [10]. Резонаторы типа «бутылочное горлышко» отличаются от других. Они замечательны тем, что знак их перекрестной чувствительности может меняться при изменении их геометрических параметров [11]. Такие резонаторы МШГ представляют собой цилиндрический стержень с утолщением, играющим роль резонатора (рис. 6). В этом случае обе части резонатора могут быть изготовлены либо из одних и тех же, либо из разных материалов. Геометрия резонаторов типа «бутылочное горлышко» может быть описана довольно точно с использованием параметров r, R0 и rst, указанных на рисунке 6 [12].
Более того, при определенных значениях геометрических параметров горлышка резонатора (конкретные значения зависят от используемых материалов) его перекрестная чувствительность становится незначительной по сравнению с чувствительностью к вращению вокруг главной оси. Например, это наблюдается в резонаторе, полностью изготовленном из плавленого кварца с r = 250 мкм, R0 = 600 мкм и rst = 108 мкм.
Также возможно решить проблему, связанную с паразитной перекрестной чувствительностью, используя триаду МШГ резонаторов любого типа, рабочие сечения которых взаимно ортогональны друг другу.
3.3. Неоднозначность измерений и нелинейность выходной характеристики
Другой существенной проблемой является взаимный характер сдвига частоты (см. уравнение (1) и рис. 5), который не позволяет определить знак угловой скорости (направление вращения), и нелинейность масштабного коэффициента (квадратичная зависимость эффекта от угловой скорости), что приводит к снижению чувствительности в области низких угловых скоростей (рис. 5). Для решения этих проблем был разработан метод, основанный на применении начального смещения рабочей точки выходной характеристики [13]. Были рассмотрены перспективы использования как постоянных, так и переменных начальных смещений. Использование постоянного смещения оправдано, когда измеряемая угловая скорость Ωx намного меньше смещения Ωb. Такое смещение может быть реализовано, например, путем размещения резонатора МШГ на оси двигателя. Предположим, что при включении двигателя резонатор начинает вращаться вокруг главной оси чувствительности в положительном направлении (против часовой стрелки) с определенной постоянной угловой скоростью Ωb. В результате такого вращения резонатор деформируется, радиус его рабочего сечения увеличивается, а частота его моды fm уменьшается на некоторую величину Δfb и становится равной fb. (рис. 7).
Когда описанная система (двигатель с резонатором МШГ) вращается относительно инерциального пространства с угловой скоростью Ωx, мода резонатора будет испытывать дополнительный сдвиг частоты Δfx:
. (6)
Если искомая скорость вращения Ωx совпадает по знаку с угловой скоростью смещения Ωb, то общая угловая скорость WGM резонатора увеличивается. В этом случае частоты мод fm,CW и fm,CCW становятся ниже, чем fb (на рис. 7 соответствует fm,CW1), и дополнительный сдвиг частоты Δfx будет положительным. Если искомая скорость вращения Ωx имеет знак, противоположный угловой скорости смещения Ωb, то общая угловая скорость резонатора МШГ уменьшится. В этом случае частоты режима fm,CW и fm,CCW станут выше, чем fb, и дополнительный сдвиг частоты Δfx будет отрицательным. Учитывая, что fm – fm,CCW = KC(Ωb + Ωx)2 и Δfb = KC(Ωb)2, мы можем преобразовать уравнение (6) следующим образом:
. (7)
Поскольку скорость вращения Ωb и частота fb известны, то путем сканирования резонатора по частоте можно определить Δfx и вычислить соответствующую искомую угловую скорость вращения всей системы Ωx. Как видно из уравнения (7), для |Ωb| >> |Ωx| сдвиг Δfx является невзаимным (меняет знак при изменении направления вращения).
В результате использование постоянного смещения позволяет судить не только о величине угловой скорости Ωx, но и о ее знаке. При условии |Ωb| >> |Ωx| вклад второго члена в уравнении (7) незначителен, и выходная характеристика становится близкой к линейной. Для наглядности на рисунке 8 показаны выходные характеристики для рассмотренного выше резонатора МШГ, соответствующие различным значениям постоянного смещения Ωb.
Основываясь на графиках на рис. 8 и уравнении (7), можно сделать вывод, что недопустимо использовать постоянное смещение при определении значений угловых скоростей |Ωx| ≥ 0,5|Ωb|, поскольку в этом случае возникает погрешность измерения Ωx. Также легко видеть, что чем выше значение смещения Ωb, тем больше чувствительность к измеренной угловой скорости Ωx и тем ниже нелинейность выходной характеристики. Используя уравнения (1) и (7), мы можем оценить, во сколько раз увеличивается чувствительность к угловой скорости при использовании постоянного смещения:
. (8)
Следует отметить, что использование постоянного смещения может привести к появлению дополнительной погрешности измерения из-за нестабильности Ωb. Это предъявляет высокие требования к двигателю, используемому для создания постоянного смещения, и снижает интерес к его практической реализации.
При использовании переменного смещения для измерения угловой скорости по взаимному сдвигу частоты МШГ требования к характеристикам привода более мягкие. Такое смещение может быть реализовано, например, путем крепления резонатора МШГ на пьезокерамическом стержне или цилиндре. Когда периодический электрический сигнал подается на электроды, определенным образом размещенные на поверхности пьезокерамики [14, 15], в основании и закрепленном на нем резонаторе МШГ могут возбуждаться торсионные колебания. В этом случае угловая скорость переменного смещения будет определяться следующим уравнением:
, (9)
где Ωb0 – амплитуда переменного смещения; νb0 – частоты колебаний переменного смещения; t – время. Описанным способом, используя пьезокерамические стержни и цилиндры, можно возбуждать торсионные колебания частотой от сотен Гц до единиц ГГц и амплитудой до 1 000 рад/с и более [14].
Теперь давайте проанализируем, как изменяются частоты рассмотренного выше сферического резонатора МШГ с переменным смещением. Зададим для него следующие параметры: амплитуда Ωb0 = 40 рад/с, частота вибрации νb0 = 100 кГц. Если пьезокерамика с закрепленным на ней резонатором МШГ неподвижна относительно инерциального пространства, то, исходя из уравнений (1) и (9), наличие переменного смещения Ωb приводит к появлению гармонического сдвига частоты МШГ. Более того, очевидно, что частота этого гармонического сдвига будет равна удвоенной частоте переменного смещения (2νb0), а амплитуда равна KCΩb02.
Теперь предположим, что описанная система начала вращаться с определенной угловой скоростью Ωx относительно инерциального пространства. В этом случае для простоты будем считать, что значение Ωx в течение периода колебания смещения (τ = 1 / νb0) близко к постоянному (изменения Ωx за время τ на порядок меньше текущего значения Ωx). Тогда общая угловая скорость резонатора представляет собой сумму условно постоянной (медленно изменяющейся) величины Ωx и периодического переменного смещения Ωb (рис. 9). В результате изменяется амплитуда сдвига частоты МШГ. Экстремумы сдвига частоты МШГ периодически становятся равными либо Δf1, либо Δf2 (рис. 9). Более того, их разница зависит от значения искомой угловой скорости:
. (10)
Таким образом, если при использовании переменного смещения отследить величину сдвига ΔfC и вычислить значение Δfx, то с помощью уравнения 10 можно определить искомую угловую скорость Ωx. Также, используя переменное смещение, можно измерить угловую скорость в случае, когда значение Ωx динамически изменяется в течение периода τ. Однако изменения Ωx усредняются за период колебания смещения τ.
Рассмотрим преимущества использования переменного смещения. Для наглядности на рис. 10 показаны выходные характеристики, соответствующие различным значениям амплитуды переменного смещения Ωb0.
Как видно из рис. 10 и уравнения (10), использование переменного смещения позволяет судить не только о величине угловой скорости Ωx, но и о ее знаке. Кроме того, в этом случае выходная характеристика является линейной. Также легко видеть, что чем выше амплитуда переменного смещения Ωb0, тем больше чувствительность к измеренной угловой скорости Ωx. Используя уравнения (1) и (10), можно оценить, во сколько раз увеличивается чувствительность к угловой скорости при использовании переменного смещения:
. (11)
Из уравнения (11) очевидно, что использование переменного частотного смещения позволяет повысить чувствительность к угловой скорости, когда выполняется условие Ωb0 > 0,25Ωx. Требуемый диапазон измерений датчиков угла редко превышает ±100 рад / с, в то время как значения амплитуды переменного смещения Ωb0 более 1 000 рад / с достижимы. Таким образом, использование переменного частотного смещения позволяет повысить чувствительность во всем рабочем диапазоне датчиков угловой скорости. Также стоит отметить, что это позволяет решать другие описанные выше проблемы, связанные с измерением угловой скорости по взаимному смещению МШГ. Влияние различных внешних факторов (температура, давление и т. д.) и паразитная перекрестная чувствительность могут привести к взаимному сдвигу частот МШГ Δf. Величина этого паразитного сдвига Δf постоянна относительно искомой угловой скорости Ωx и угловой скорости смещения Ωb (т. е. угловой скорости при вращении вокруг главной оси чувствительности). Таким образом, при вычислении разности Δf1 – Δf2 паразитная составляющая Δf исключается (уравнение (10) и рис. 10). Сдвиг частоты Δf не влияет на вычисленное значение Δfx, которое пропорционально искомой угловой скорости Ωx.
4. Измерение угловой скорости с использованием эффекта Саньяка
Оптические резонаторы МШГ также могут быть использованы в качестве чувствительных элементов микрооптических гироскопов резонаторного типа [16]. В этом случае невзаимное смещение частот МШГ, вызванное эффектом Саньяка, служит мерой угловой скорости. Рассмотрим поперечное сечение резонатора МШГ (рис. 3). Как отмечалось выше, если резонатор неподвижен относительно инерциального пространства, то частоты МШГ для противоположных направлений его обхода (по часовой стрелке и против нее) равны. Когда резонатор вращается, из-за эффекта Саньяка частоты МШГ смещаются в противоположных направлениях (рис. 11).
Предположим, что взаимный сдвиг, вызванный центробежными силами, незначителен по сравнению с невзаимным сдвигом частот МШГ, вызванным эффектом Саньяка (это справедливо в случае, когда резонатор изготовлен из жесткого материала). Тогда величина сдвига частоты определяется следующим уравнением [17]:
, (12)
где fm,CW и fm,CCW – частоты МШГ волн, проходящих через резонатор по часовой стрелке и против нее соответственно; fm – частота МШГ стационарного резонатора; R – радиус поперечного сечения резонатора; C – скорость света в вакууме, Ω – угловая скорость.
Таким образом, сканируя резонатор по частоте, можно определить невзаимный сдвиг частоты ΔfS и вычислить пропорциональную ему угловую скорость. Как видно из уравнения (12), эффект Саньяка линеен по отношению к угловой скорости и позволяет определять направление вращения. Невзаимность эффекта позволяет исключить взаимные сдвиги частот МШГ при расчете разности частот резонаторов ΔfS, в том числе вызванные изменениями параметров внешней среды, а также вызванные центробежными силами ΔfC.
Однако согласно уравнению (1) центробежные силы также вызывают изменение радиуса рабочего сечения резонатора МШГ, который входит в масштабный коэффициент эффекта Саньяка (уравнение (12)). В результате можно переписать выражение, определяющее невзаимное смещение частот МШГ, с учетом влияния центробежных сил:
. (13)
Таким образом, масштабный коэффициент эффекта Саньяка становится нелинейным. Если не учитывать зависимость радиуса от скорости вращения (из-за действия центробежных сил), то появляется дополнительная систематическая ошибка.
При измерении угловой скорости с использованием эффекта Саньяка обычно используются жесткие (плавленый кварц или фторид кальция) резонаторы МШГ. В этом случае величина систематической ошибки, вызванной действием центробежной силы, невелика и становится существенной только при высоких угловых скоростях (более 103 рад / с). При необходимости можно устранить эту систематическую ошибку. Для этого, используя выражение (1), вычисляется поправка к радиусу рабочего сечения резонатора: ΔR = (fm – fm, CW) R0/fm. Также этот метод позволяет исключить систематическую ошибку, вызванную изменением радиуса резонатора из-за изменения параметров окружающей среды.
Предельная чувствительность резонаторных МОГ пропорциональна добротности используемого в них резонатора. Добротность лучших волноводных ПКР, обычно рассматриваемых в качестве чувствительного элемента МОГ, достигает 106–107 [16], в то время как в резонаторах МШГ она достигает более 109 [18]. Однако из-за специфической формы некоторых типов резонаторов МШГ (сферических, типа «бутылочное горлышко» и т. д.) их трудно интегрировать с другими элементами МОГ. Другие, более технологически продвинутые резонаторы МШГ (тороидальные, дискообразные) обычно характеризуются более низкой добротностью или выраженными нелинейными свойствами.
Сравним величины сдвигов МШГ, вызванных эффектом Саньяка и влиянием центробежных сил. Мы ограничиваемся рассмотрением сдвигов только в сферических резонаторах МШГ. Используя уравнения (1) и (12), мы можем получить уравнение, описывающее величину угловой скорости, при которой эти сдвиги МШГ равны:
. (14)
Графики на рис. 12 иллюстрируют зависимость угловой скорости Ωe от радиуса резонатора R0. Сравниваются сферические резонаторы МШГ, изготовленные из плавленого кремнезема или фторида кальция, мягкого оптического полимера (60 : 1 ПДМС). В области под отмеченными линиями (см. рис. 12) доминирует эффект Саньяка, а в области над ними (а также в увеличении на отдельном рисунке) доминирует влияние центробежных сил. Чем мягче и тяжелее материал и чем больше резонатор МШГ, тем ниже угловая скорость, при которой сдвиги ΔfC и ΔfS становятся равными.
В связи с вышесказанным идея одновременного использования двух эффектов для измерения угловой скорости представляется очень привлекательной. Это может быть реализовано по-разному. Во-первых, при достижении определенного значения угловой скорости (при достижении Ωe) можно просто переключаться между эффектами, используемыми для измерения. Производить измерения с использованием эффекта Саньяка при низких угловых скоростях (менее Ωe), а при высоких угловых скоростях (более Ωe) измерять угловую скорость по сдвигу частоты, вызванному центробежными силами. Также возможно реализовать одновременное измерение угловой скорости с использованием обоих эффектов, используя тот факт, что один из эффектов является взаимным, а другой – невзаимным. Определять сдвиг частоты МШГ, вызванный эффектом Саньяка, на основе разности частот МШГ волн, проходящих через резонатор в противоположных направлениях: ΔfS = fm,CW – fm,CCW. При этом одновременно вычисляется сдвиг частот МШГ, вызванный центробежными силами, используя сумму тех же частот МШГ: ΔfC = 0,5[2fm – (fm,CW + fm,CCW)]. В результате два устройства работают одновременно и используют разные физические эффекты, но на одном и том же резонаторе. Это должно позволить использовать преимущества обоих эффектов и повысить точность определения угловой скорости за счет комплексирования результатов измерений.
5. Заключение
В статье рассмотрен метод измерения угловой скорости по взаимному сдвигу частоты МШГ, вызванному воздействием центробежных сил. При использовании резонаторов, изготовленных из мягких полимеров, этот эффект может преобладать над другими эффектами, вызывающими сдвиг частоты МШГ. Тем не менее, несколько проблем на практике усложняют измерение угловой скорости по взаимному смещению МШГ.
Одной из проблем является влияние различных внешних факторов (температура, давление и т. д.) на радиус рабочего сечения резонатора. Это приводит к паразитному взаимному сдвигу частоты, который трудно отличить от сдвига ΔfC, с помощью которого определяется угловая скорость. Было продемонстрировано, что эта проблема может быть решена путем перехода к измерению угловой скорости путем разделения соседних частот МШГ с различными азимутальными индексами. В этом случае снижается чувствительность к угловой скорости.
Другой проблемой является наличие паразитной перекрестной чувствительности. Поскольку ориентация оси вращения в общем случае неизвестна, чувствительность к составляющей угловой скорости, перпендикулярной главной оси чувствительности, может привести к погрешности в результатах измерения. Было определено, что величина и знак этой перекрестной чувствительности зависят от формы используемого резонатора МШГ. Более того, при определенных значениях геометрических параметров (конкретные значения зависят от используемых материалов) резонаторов типа «бутылочное горлышко» их перекрестная чувствительность становится незначительной по сравнению с чувствительностью к вращению вокруг главной оси. Например, это наблюдается для резонатора, полностью изготовленного из плавленого кварца с r = 250 мкм, R0 = 600 мкм и rst = 108 мкм. Также эта проблема может быть решена с помощью триады резонаторов МШГ любого типа, рабочие сечения которых взаимно ортогональны друг другу.
Кроме того, существенными проблемами являются взаимный характер сдвига частоты, который не позволяет судить о знаке угловой скорости, и нелинейность масштабного коэффициента, что приводит к снижению чувствительности к малым угловым скоростям. Для решения этих проблем было предложено использовать начальное смещение рабочей точки выходной характеристики. Были рассмотрены перспективы использования как постоянных, так и переменных начальных смещений. Более перспективно использовать переменное смещение. В этом случае выходная характеристика становится линейной, а чувствительность во всем рабочем диапазоне датчиков угловой скорости увеличивается в 4 раза, что равно четырехкратному отношению угловой скорости смещения к измеренной угловой скорости. Это также позволяет решать другие описанные выше проблемы, связанные с измерением угловой скорости от возвратно-поступательного перемещения МШГ.
В работе рассматривался эффект Саньяка в резонаторах МШГ и особенности его применения для измерения угловой скорости таких резонаторов. В частности, было продемонстрировано, что из-за влияния центробежных сил масштабный коэффициент эффекта Саньяка становится нелинейным. Это может привести к дополнительной систематической ошибке измерения. Однако, поскольку при измерении угловой скорости с помощью эффекта Саньяка обычно используются жесткие резонаторы, величина этой систематической ошибки невелика и становится существенной только при высоких угловых скоростях (более 103 рад/с). Был описан способ компенсации этой ошибки, который также позволяет устранить систематическую ошибку, вызванную изменением радиуса резонатора из-за изменения параметров окружающей среды.
Кроме того, в работе сравниваются значения сдвигов МШГ, вызванных эффектом Саньяка и влиянием центробежных сил, и рассматривается идея одновременного использования этих эффектов для измерения угловой скорости.
Благодарность
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (грант № FSEE-2020-0005).
REFERENCES
Filatov Y. V. et al. Microoptical gyros on the base of passive ring resonators. Gyroscopes: Types, Functions and Applications. Nova Science Publishers. New York. 2019.
Filatov Y. V. et al. Modeling of a ring confocal resonator field. Optical Engineering. 2019; 58(7): 074103.
Oraevsky A. N. Whispering-gallery waves. Quantum Electronics. 2002; 32(5):377–400.
Vollmer F., Yang L. Label-free detection with high-Q microcavities: a review of biosensing mechanisms for integrated devices. Nanophotonics. 2012;1(3):267–291.
Amir R. A., Tindaro I. Effect of Angular Velocity on Sensors Based on Morphology Dependent Resonances. Sensors. 2014;14: 7041–7048.
Filatov Yu. V., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu., Dmitrieva A. D. The comparison of the influence of centrifugal forces and the Sagnac effect on a rotating whispering gallery modes resonators. Proc. SPIE. 2016;9992: 99920A.
Filatov Yu. V., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Use of Whispering Gallery Modes Frequency Splitting for Rotation Speed Measurement. Proc. of Advanced Photonics. 2018; SeW4E.3.
Filatov Yu. V., Kukaev A. S., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Investigation of a shift of whispering-gallery modes caused by deformations and tensions. Optical Engineering. 2017; 56(10):107104.
Venediktov V. Yu., Kukaev A. S., Filatov Yu. V., Shalymov E. V. Modelling of rotation-induced frequency shifts in whispering gallery modes. Quantum Electronics. 2018;48(2): 95–104.
Filatov Yu. V., Kukaev A. S., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Influence of the whispering-gallery mode resonators shape on its inertial movement sensitivity. Optical Engineering. 2018; 57(1): 014104.
Filatov Yu. V., Kukaev A. S., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Study of crosssensitivity of whispering gallery modes in bottle resonators to rotation. Optical Engineering. 2018;57(10): 107107.
Sumetsky M. Lasing microbottles. Light: Science & Applications. 2017;6(10): e17102.
Filatov Yu. V., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Alternating sign bias in the angular velocity sensors on the base of resonators of the whispering gallery modes. Proc. SPIE. 2018;10799: 107990K.
Bradfield G. Some experiments with barium titanate Il. Nuovo Cimento. 1950;7(2):182–189.
Mason W. P. Generation of Transverse Vibrations in Liquids. Patent US. 2490452. 1946.
Filatov Yu. V., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Passive ring resonator micro-optical gyroscopes. Quantum Electronics. 2016;46(5):437–446.
Filatov Yu. V., Kukaev A. S., Shalymov E. V., Venediktov V. Yu. Future gyros on the base of whispering gallery mode resonators. Proc. 2017 Progress In Electromagnetics Research Symposium – Spring (PIERS). 2017; 3085–3089.
Matsko A. B., Savchenkov A. A., Strekalov D., Ilchenko V. S., Maleki L. Review of applications of whispering-gallery mode resonators in photonics and nonlinear optics. IPN Progress Report. 2005; 42: 42–162.
Об АВТОРАХ
Венедиктов Владимир Юрьевич, д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник, Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-0728-2050
Кукаев Александр Сергеевич, к.т.н., доцент, Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-9525-8412
Севрюгин Александр Алексеевич, к.ф.-м.н., ст. преподаватель, Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
Филатов Юрий Владимирович, д.т.н., профессор, зав.кафедрой лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-4388-8033
Шалымов Егор Вадимович, к.т.н., доцент, Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-0731-6978
Отзывы читателей
