eng
Выпуск #2/2015
А. Шварцбург
Туннелирование света в градиентных наноструктурах: парадоксы, перспективы, первые применения
Туннелирование света в градиентных наноструктурах: парадоксы, перспективы, первые применения
Просмотры: 5122
Туннелирование света в градиентных диэлектрических пленках не только открыло пути к созданию необычных оптических систем, но и позволило обобщить несколько ключевых понятий из учебников физики.
Теги: gradient optics light tunneling metamaterials градиентная оптика метаматериалы туннелирование света
Системы ПВО в оптике
Аббревиатура "ПВО" в оптике, в отличие от армейских уставов, означает "полное внутреннее отражение" – явление, знакомое из школьного курса физики: луч света, падающий наклонно из среды 1 с большим показателем преломления в среду 2 с меньшим показателем преломления , отразится обратно в среду 1, если угол падения больше так называемого критического угла . Величина этого угла определяется из соотношения показателей преломления сред 1 и 2. Историки физики отмечают, что этот удивительный эффект знал еще Иоганн Кеплер, который не только открыл три закона обращения планет, но, совершенствуя астрономические инструменты, не оставлял без внимания и оптику.
Прошло три века, и эффект ПВО вновь привлек внимание исследователей. Появилась электромагнитная теория света, в научный обиход вошли уравнения Максвелла и представления о световых волнах. Пользуясь новыми идеями, профессор Московского университета А. А. Эйхенвальд теоретически показал [1], что световое поле при ПВО на границе сред не обрывается: проникая в отражающую среду, оно экспоненциально затухает. Энергия проникающей волны монотонно уменьшается на расстояниях порядка длины световой волны, и это затухание никак не связано с поглощением волны. Результат Эйхенвальда показал, что эффект имеет волновую природу и не может быть описан привычным языком геометрической оптики – световыми лучами. Этот вывод получил вскоре наглядное подтверждение в опыте Л. И. Мандельштама и П. Селени.
В этом опыте стеклянная призма погружалась нижней гранью в жидкость, в которой растворено флюоресцентное вещество (рис.1). Свет, падая через призму на границу жидкости под углом, большим критического, испытывает на границе эффект ПВО. Однако часть светового потока, проникая в тонкий слой приграничной жидкости, вызывает ее флюоресцентное свечение. Цвет флюоресценции отличается от цвета падающего излучения, а свечение пограничного слоя дает возможность наблюдать эффект. Этот опыт подтвердил и другое предсказание Эйхенвальда: световой поток, затухая, проникал в жидкость на малую, но конечную глубину, соизмеримую с длиной волны, и, что было совсем неожиданно, – затухание не было связано с поглощением волны. Такое частичное проникновение света через непрозрачный барьер получило сокращенное название "НПВО" ("нарушенное ПВО").
"Журнал Российского физико–химического общества" напечатал работу Эйхенвальда в 1909 году. В те годы на фоне стремительного развития другой ветви электромагнетизма – радиотехники – концепция НПВО, уточняющая привычный закон преломления света, могла показаться изящной, но непрактичной теорией. Но "ничего нет практичней, чем хорошая теория!"- говорил американец Эдвард Кондон, один из пионеров спектроскопии. И точно: не прошло и двадцати лет, как теории НПВО настал свой черед.
Г. Гамов: от НПВО волн де Бройля к туннелированиию частиц
"Второе дыхание" в теорию НПВО внес Г. А. Гамов. Двадцатитрехлетний выпускник Ленинградского университета, он был направлен, как сказали бы сегодня, на стажировку в Лейпциг и там, в группе самого молодого (26 лет!) профессора Германии В. Гейзенберга, взялся за "горячую" задачу, возникшую в лаборатории первооткрывателя атомного ядра Резерфорда: было известно, что излучение, возникающее при радиоактивном распаде атомных ядер урана, содержит два типа частиц, которые Резерфорд назвал "альфа" и "бета". Известна была и природа этих излучений: в частности, в альфа – частице опознали ядро атома гелия, состоящее из двух нейтронов и двух протонов (название "протон" тоже предложил Резерфорд!). Однако в этой стройной картине появилось и темное пятнышко: покидая материнское ядро, альфа-частица должна была преодолеть потенциальный барьер, созданный ядерными силами притяжения. Расчеты показывали, что работа частицы по преодолению барьера оказывалась больше, чем энергия самой частицы. В который раз возник соблазн объявить о возможном нарушении закона сохранения энергии, на этот раз – в микромире...
В поисках решения Гамов обратил внимание на внешнее сходство недавно предложенного уравнения Шрёдингера, описывающего движение атомных объектов через потенциальный барьер, и волнового уравнения, описывающего прохождение света через слой непрозрачного материала. Представляя формально движение атомного объекта с помощью особого типа волн, так называемых волновых функций, можно было увидеть аналогию между проникновением альфа-частиц через потенциальный барьер и просачиванием электромагнитных волн через непрозрачный слой в режиме НПВО. Независимо от загадки альфа-распада, концепция полного внутреннего отражения "витала в воздухе", всплывая и в другом открытии, сделанном тоже в Англии ещев 1924 году, – отражении радиоволн, излученных наземным передатчиком, от слоя ионизованного газа, окружающего Землю на высоте 90–100 км (тогда еще не говорили про ионосферу, на слуху был "слой Хэвисайда"). От аналогии уравнений оставался один шаг до аналогии решений – и этот шаг был сделан: в 1928 году появилась формула Гамова [2], выражающая, в отличие от привычной механики, экспоненциально малую, но конечную вероятность пролета частицы сквозь барьер, иными словами – вероятность распада атомного ядра. Этот эффект не посягает на закон сохранения энергии: в определении импульса квантовой частицы и координаты всегда присутствуют "неопределенности" и , связанные с постоянной Планка фундаментальным "принципом неопределенности" Гейзенберга: ; при этом "неопределенность" импульса частицы, пролетающей через барьер, допускает "неопределенность" координаты за барьером.
Работа Гамова ввела в язык физики новую фундаментальную концепцию – туннелирование, концепцию, общую для волновых полей различной физической природы. В процессах туннелирования волновые поля изменяются в пространстве апериодически, ключевое понятие "длина волны" не возникает, а фаза волны не меняется. Более полувека эта концепция ассоциировалась с экспоненциально малым пропусканием потоков частиц и волн, туннелирующих через непрозрачные барьеры. Новая жизнь этой концепции, положившая конец привычной "малости", началась с появлением в оптике и электронике особого вида искусственных материалов, так называемых метаматериалов, и новых способов создания миниатюрных наноразмерных оптоэлектронных систем – так называемых нанотехнологий.
Нелокальная нанооптика диэлектрических метаматериалов: когда формулы Френеля не описывают отражение света?
Нанооптика диэлектрических метаматериалов изучает взаимодействие света с тонкими наноразмерными пленками и покрытиями, состоящими из искусственных диэлектриков. Из этой сегодняшней "горячей" области в настоящей статье выделена лишь одна проблема, связанная с конкретным классом нанопленок, получаемых магнетронным напылением атомов тантала и кремния в атмосфере кислорода на кварцевую подложку. В процессе напыления подложка движется по определенному закону, контролирующему процентное содержание образующихся окислов Ta2O5 и SiO2 в напыленных слоях; показатели преломления этих окислов различны, так что такое движение, управляемое компьютерной программой, автоматически обеспечивает заданное пространственное распределение показателя преломления в пленке и вызванные этой неоднородностью эффекты. В электродинамике говорят про нелокальные эффекты, когда отклик среды на электромагнитное поле в заданной точке зависит не только от поля в этой точке, но и от значений поля в некоторой области, окружающей эту точку. Появление градиентных прозрачных нанопленок, показатель преломления которых направленно модулируется в пространстве на расстояниях порядка или даже меньших, чем , привлекло внимание к сильным нелокальным эффектам в отражении, пропускании и дисперсии волн в градиентных прозрачных наноструктурах. Такие эффекты удобно проследить на простой одномерной задаче, когда показатель преломления плоской пленки модулируется в направлении , перпендикулярном к границам пленки: ; здесь – значение на поверхности пленки = 0, на которую падает свет, – безразмерная функция, описывающая распределение показателя преломления (профиль ) внутри пленки. Пример такого распределения, заданного функцией
(1)
показан на рис.2а; комбинации знаков s1 = –1, s2 = +1 и s1 = +1, s2 = –1 в (1) соответствуют выпуклому и вогнутому профилям [3]. Величины L1 и L2, имеющие размерность длины, являются свободными параметрами модели 1 (рис.2), связанными с толщиной слоя и максимумом (минимумом) профиля . Часто используемую модель "профиля Рэлея" [4] можно считать частным случаем более гибкого распределения (1), соответствующем пределу . Напыляя последовательно слои (1), можно получить периодическую градиентную наноструктуру, смежные слои которой показаны на рис.2b. Следует отметить, что технология напыления на движущуюся подложку позволяет получать разнообразные профили , но использование модели 1 (рис.2) особенно удобно, так как в рамках этой модели волновые поля в градиентных средах описываются точными аналитическими решениями, выраженными через элементарные функции. Именно эта модель использовалась в московском ООО "Фотрон – Авто" в работах, связанных с напылением градиентных диэлектрических наноструктур, измерением и расчетом их спектров отражения и пропускания в видимом и ИК-диапазонах; при этом профиль (1) формировался переменным по толщине пленки ( = 140 нм) соотношением содержания окислов Ta2O5 и SiO2 , так что значения максимальны на поверхностях пленки и минимальны в ее центральной плоскости [5]. Для простоты здесь рассматриваются лишь случаи нормального падения излучения на границу 0.
Спектр пропускания периодической наноструктуры , содержащей 11 таких градиентных слоев, показан кривой 1 на рис.3. Этот спектр получен в эксперименте, однако вычислить величины с помощью привычных формул Френеля оказалось невозможно: эти формулы описывают прохождение света через однородную пластинку, характеризуемую разрывами показателя преломления на границах пластинки. Формулы Френеля были выведены для света почти двести лет тому назад; со временем появились аналоги этих выражений и для других волновых задач – например, для отражения волн от скачков импеданса в электромагнитных [6] и акустических [3] системах; эти формулы работают сегодня и при расчете нанооптических структур, основанных на чередовании однородных слоев с высокими и низкими значениями показателя преломления , испытывающими разрывы на границах слоев. В отличие от этого, профиль на границах градиентных пленок, составляющих исследуемую наноструктуру, непрерывен (см. рис.2а), но градиент этого профиля на границах слоев испытывает разрыв. Чтобы найти отражение и пропускание таких структур, потребовалось построить обобщение формул Френеля для прозрачных градиентных сред. Теоретический анализ этой задачи на основе точных аналитических решений уравнений Максвелла для профиля (1), справедливых для любой длины волны, показал, что наряду с разрывами показателя преломления есть еще два эффекта, рассмотренных ниже, характерных для неоднородных сред и формирующих спектры пропускания градиентной "много-
слойки".
1. Отражение от разрыва градиента в непрерывном профиле n(z). Кривая 2 на рис.3 представляет спектр пропускания , рассчитанный с помощью найденных обобщенных формул Френеля для той же периодической наноструктуры, для которой экспериментально измерен спектр (кривая 1). Расхождение значений для кривых 1 и 2 не превышает 2–3%, и эта точность дает основания применить найденные результаты для "конструирования" спектров пропускания и иных градиентных наноструктур, предназначенных для работы в иных спектральных диапазонах, характеризуемых другим числом слоев и другими размерами . Анализ таких спектров открывает неожиданный эффект искусственной дисперсии градиентного слоя. Откладывая рассмотрение этого эффекта и его следствий далее, отметим сейчас еще один механизм отражения волн в неоднородном диэлектрике.
2. Отражение от разрыва кривизны в непрерывном плавном профиле n(z). Эта ситуация показана на рис.4а, представляющем два разных распределения в переходном слое между однородными средами с показателями преломления и . Оба распределения на границах слоя непрерывны; градиенты этих распределений на границах слоя обращаются в нуль, совпадая с нулевым значением градиента в однородном слое. Таким образом, на границах слоя нет ни разрывов показателя преломления , ни разрыва градиентов . Сами профили составлены из вогнутых и выпуклых дуг, представленных частями кривых, показанных на рис.1; эти дуги касаются внутри слоя гладко (градиент каждого профиля в точке касания дуг меняется непрерывно). Переход от вогнутой к выпуклой части гладкого профиля характеризуется разрывом кривизны профиля. Спектры отражений от профилей 1 и 2 (рис.4b) показывают заметную разницу, обусловленную дополнительным отражением в точке разрыва кривизны. Этот эффект создает физическую основу для неразрушающего контроля плавного распределения показателя преломления внутри переходного слоя.
Эти результаты обусловлены сложной фазовой структурой интерферирующих прямых и обратных волн, обусловленной разрывами градиента и кривизны профиля в градиентной пленке. Когда неоднородность в модели (1) исчезает (), указанные механизмы отражения тоже исчезают, и полученные формулы [3] переходят в классические формулы Френеля.
Градиентные фотонные барьеры: искусственная дисперсия и безотражательное туннелирование света
Субволновую прозрачную пленку со специально созданным распределением показателя преломления , контролирующем поток фотонов, образно называют "градиентный фотонный барьер". Важное свойство такого барьера – искусственная дисперсия: в отличие от естественной дисперсии, связанной с локальной зависимостью от частоты волны , дисперсия градиентной среды является нелокальным эффектом, определяемым пространственным распределением . Так, профиль , представленный кривой 1 на рис.2а, характеризуется плазмоподобной дисперсией: в плазме свободных носителей определена плазменная частота , разделяющая спектральные интервалы распространяющихся ( > , волновые числа действительны) и туннелирующих ( < , мнимые волновые числа) полей; эта частота зависит от плотности свободных носителей. Выше неоднократно подчеркивалось, что рассматриваемые здесь нанопленки созданы из диэлектриков без свободных носителей, так что для них плазменная частота не существует. Однако, для пленок без свободных носителей распределение (рис.2а, кривая 1) определяет граничную частоту :
, (2)
зависящую лишь от параметров распределения и ; подобно плазменной частоте частота разделяет спектральные интервалы, соответствующие действительным и мнимым значениям волновых чисел для полей внутри градиентного фотонного барьера. Чтобы "почувствовать" порядок величины , отметим, что, например, для профилей, показанных на рис.3, частота соответствует длине волны из ближнего ИК-диапазона: = = 1320 нм. Частота является характеристикой именно градиентного барьера: если неоднородность ослабевает , то и .
Пользуясь частотой , удобно представить спектры пропускания периодических структур, содержащих градиентных нанопленок (1), в виде обобщенной зависимости от безразмерного параметра , так что интервалу действительных (мнимых) волновых чисел соответствуют области . Расчеты таких спектров, представленные на рис.5, подтвердили ожидаемые эффекты искусственной дисперсии, показанные для одной наноструктуры на рис.4: в области высоких частот нелокальная дисперсия пропускания велика, а величина сильно меняется в зависимости от толщины структуры; в области низких частот – наоборот, дисперсия незначительна, а пропускание волн с мнимыми волновыми числами велико и почти постоянно. Cпектры на рис.5 имеют "универсальный" характер: коэффициент пропускания через периодическую структуру с заданными параметрами и для каждого значения сохраняет свою величину при любых частотах и толщинах пленок , связанных условием
. (3)
На первый взгляд, эти результаты казались странными, особенно утверждение об эффективном переносе энергии волновыми полями с мнимыми волновыми числами, т. е., о переносе в режиме НПВО. Чтобы проверить этот эффект, исследователи Ю. А. Обод и О. Д. Вольпян из Московского НПО "Фотрон – Авто" поставили специальный эксперимент: измерялись спектры пропускания в видимом и ИК-диапазонах для двух различных периодических наноструктур, содержащих, соответственно, 7 и 11 градиентных нанопленок (рис.6). Измерения показали:
узкий глубокий провал и сильную частотную дисперсию пропускания видимого и ближнего ИК-диапазонов (= 1255 нм);
широкополосное плато, соответствующее слабой дисперсии и высокому пропусканию в области , где излучение распространяется через барьер в режиме НПВО и описывается полями с мнимыми волновыми числами;
что особенно интересно – отмеченное высокое пропускание в области НПВО почти не зависит от толщины фотонного барьера, т. е. от количества пленок : разница в значениях и , не превышает 2–3%.
Описанные эффекты обусловлены своеобразной интерференцией прямых и обратных туннелирующих волн, апериодических в пространстве и гармонических во времени; свой вклад в интерференционную картину вносят обратные волны, отражающиеся от обеих границ плоскопараллельной подложки, а коэффициент пропускания составляет в этом случае 92–95%. Если, в отличие от такого отражателя, использовать клиновидную подложку, где волны, отраженные от задней границы, не возвращаются в область интерференции, то в спектре пропускания возникают дискретные "окна прозрачности", где коэффициент пропускания в режиме НПВО достигает 100% (рис.7).
Эти результаты показывают принципиальные различия между эффективным переносом потоков излучения в градиентных структурах в режиме НПВО и экспонециальным ослаблением этих потоков при туннелировании через однородные непрозрачные слои. В отличие от рассмотренного здесь простого случая нормального падения излучения на границу градиентного слоя, при наклонном падении излучения на такой слой условия возникновения режима НПВО существенно различаются для - и - поляризованных волн, а само рассмотрение значительно усложняется [6]. Для простоты ниже обсуждается еще один случай – распространение волн вдоль границы градиентного слоя.
Градиентная оптика поверхностных волн видимого и ИК-диапазонов
Концепцию поверхностных электромагнитных волн на границе проводящей среды ввел в научный обиход А. Зоммерфельд в 1899 году, а еще раньше похожую ситуацию для акустических волн на границе упругого твердого тела обсуждал Рэлей [4]. Распространение поверхностных электромагнитных волн (ПЭВ) вдоль резкой границы сред со свободными носителями – металлов, полупроводников и даже соленой воды – давно является предметом исследований в электронике, радиофизике и геофизике. Однако плавные изменения диэлектрической проницаемости среды в субволновом слое вблизи границы раздела диэлектриков без свободных носителей (градиентный приповерхностный слой, называемый иногда "метаповерхностью") могут полностью перестроить привычную картину ПЭВ, отменяя ряд запретов, ограничивающих условия существования ПЭВ.
В отличие от анализа полей, распространяющихся вдоль градиента , здесь рассматриваются поля, распространяющиеся поперек градиента , т. е. вдоль границ таких диэлектриков. Подчеркивая своеобразие таких полей, удобно сравнить их с поверхностными волнами на резкой границе раздела двух однородных сред со свободными носителями. Поляризация и спектр таких волн, бегущих в направлении вдоль границы (плоскость = 0), хорошо известны [7]:
существование поверхностной волны на границе однородных сред возможно, если диэлектрические проницаемости этих сред удовлетворяют условию: ; это означает, что хотя бы в одной из граничащих сред должно выполняться условие , характерное, например, для плазмы металла или диэлектрика со свободными носителями;
волновое поле содержит компоненты , и ( поляризация); поляризованная поверхностная волна (компоненты , и ) натакой граничной поверхности невозможна;
спектр частот поверхностных волн на границе раздела воздуха и плазмы с плазменной частотой ограничен сверху: .
Традиционной средой для возбуждения таких волн является плазма свободных носителей в металлах и полупроводниках.
В отличие от этого, другое семейство ПЭВ может возникнуть в прозрачном градиентном слое вблизи поверхности прозрачного диэлектрика без свободных носителей, диэлектрическая проницаемость которого убывает от поверхности вглубь среды, так что .
Эти волны удобно рассматривать в рамках точно решаемой модели пространственного распределения показателя преломления диэлектрической среды, :
, (4)
где – произвольный пространственный масштаб, – произвольный безразмерный параметр. Безразмерная функция (рис.8) описывает "насыщение" в глубине среды :
= . (5)
Параметры среды и определяют граничную частоту , зависящую от градиента в приповерхностном слое:
. (6)
Вместе с условиями возбуждения ПЭВ частота ограничивает спектральный интервал, в котором существуют рассматриваемые ПЭВ. В области низких частот волновое поле распространяется вдоль границы диэлектрика и спадает в обе стороны от этой границы. Частота в диэлектрике без свободных носителей напоминает частоту , ограничивающую спектр ПЭВ в электронной плазме; однако, в отличие от плазмы, граничная частота , контролируемая технологией изготовления градиентного слоя, может быть создана в среде без свободных носителей в заранее заданном спектральном интервале.
Оптимизация параметров и характерной толщины приповерхностного слоя позволит обеспечить формирование S-поляризованных поверхностных волн в узких спектральных интервалах в диэлектриках с фиксированными значениями показателя преломления вдали от поверхности. Так, в диэлектрике, характеризуемом параметрами = 1,42, = 2, = 50 нм, спектральный интервал для указанных поверхностных волн существует в ближнем ИК-диапазоне, ограниченном частотами = 2,13 · 1015 рад/с (= 884,5 нм) и = 2,016 · 1015 рад/с ( = 935,5 нм); ширина интервала составляет 50,5 нм. Однако, при тех же значениях и , уменьшение толщины слоя ( = 30 нм) ведет к формированию узкой спектральной полосы в видимом диапазоне = 3,55 · 1015 рад/с ( = 530,7 нм) и = 3,36 · 1015 рад/с ( = 560,7 нм), так что ширина интервала сужается до = 30 нм.
Для существования поверхностных волн на поверхности диэлектрика требуется переходный слой конечной толщины; при расширении этого слоя критическая частота (6) уменьшается до нуля, и рассматриваемая ветвь волнового спектра исчезает. Конечные значения определяют характерные особенности таких волн на градиентной поверхности:
Критическая частота (верхняя граница спектра поверхностных мод), определяемая профилем показателя преломления диэлектрика вблизи поверхности, характеризует искусственную дисперсию диэлектрика лишь в тонком приповерхностном слое.
Возможности выбора критической частоты, определяемые нелокальной дисперсией градиентного приповерхностного слоя, позволяют расширить спектр частот поверхностных волн как в коротковолновую, так и в длинноволновую части спектра.
Потери на затухание поверхностных волн можно оптимизировать, выбирая градиентный материал, полосы поглощения которого расположены вдали от используемых частот этих волн.
Выбор параметров распределения (3) позволяет ослабить затухание поверхностной волны на границе среда – воздух за счет "вытеснения" волнового поля из диссипативной среды в воздух.
Представляет интерес трехмерная периодическая структура, локализованная вблизи поверхности градиентного диэлектрика, которая может быть создана при интерференции двух поверхностных электромагнитных волн одной частоты . Толщина слоя, где локализована поверхностная мода средневолнового ИК диапазона, составляет величину порядка 0,1–1 мкм и контролируется величиной , определяемой технологией напыления поверхностного слоя.
Следует подчеркнуть, что в отличие от традиционного рассмотрения ПЭВ на поверхностях материалов со свободными носителями, указанные эффекты в градиентных диэлектриках без носителей существенно расширяют как спектральный диапазон существования ПЭВ, так и круг материалов, перспективных для создания новых систем ПЭВ.
От туннелирования света к туннелированию звука?
Характерные частоты (2) и (6) в диэлектрическом слое без свободных электронов напоминают плазменные частоты в металлах и полупроводниках, но – и в этом принципиальное отличие! – частоты и могут быть созданы в любой наперед заданной части спектра. Эта свобода выбора открывает возможности оптимизации параметров градиентных сред применительно к нужному частотному интервалу в разных частях спектра электромагнитного излучения – от света до радиоволн [8]. Более того, эффекты искусственной дисперсии для волн различной физической природы в градиентных средах зачастую описываются сходными решениями волновых уравнений, подтверждая вынесенные в эпиграф крылатые слова одного из отцов – основателей статистической физики Д. В. Гиббса. Свежим примером такого "прорастания" концепции искусственной нелокальной дисперсии между разными областями волновой физики является анализ акустической дисперсии твердого тела с контролируемыми распределениями плотности и упругих параметров. Такая дисперсия может привести к ряду эффектов "градиентной акустики", аналогичных эффектам градиентной оптики, и, в частности, к неожиданному эффекту туннелирования звука в неоднородных твердых материалах [3]. Эти разработки находятся сегодня в начале пути, представляя пока, как говорил известный киногерой, "информацию к размышлению".
Литература
Эйхенвальд А. А. – ЖРФХО, 1909, 41, 131.
Gamow G. A. – Z. Phys., 1928, 51, 204 .
Shvartsburg A. B. , Maradudin A. A. Waves in Gradient Metamaterials. – WSPC, 2013.
Стретт Д. В. Теория Звука. – М., ГИТТЛ, 1955.
Shvartsburg A. B. , Obod Yu.A. , Kuzmichev A. I. , Volpian O. D. , Parkhomenko Yu.N. – Optical Materials Express, 2014 , 4 (11), 2250.
Shvartsburg A. B., Kuzmiak V. , Petite G. – Phys. Rev., 2007, E 76, 016603.
Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Электродинамика Сплошных Сред" – М.: Наука, 1992.
Аббревиатура "ПВО" в оптике, в отличие от армейских уставов, означает "полное внутреннее отражение" – явление, знакомое из школьного курса физики: луч света, падающий наклонно из среды 1 с большим показателем преломления в среду 2 с меньшим показателем преломления , отразится обратно в среду 1, если угол падения больше так называемого критического угла . Величина этого угла определяется из соотношения показателей преломления сред 1 и 2. Историки физики отмечают, что этот удивительный эффект знал еще Иоганн Кеплер, который не только открыл три закона обращения планет, но, совершенствуя астрономические инструменты, не оставлял без внимания и оптику.
Прошло три века, и эффект ПВО вновь привлек внимание исследователей. Появилась электромагнитная теория света, в научный обиход вошли уравнения Максвелла и представления о световых волнах. Пользуясь новыми идеями, профессор Московского университета А. А. Эйхенвальд теоретически показал [1], что световое поле при ПВО на границе сред не обрывается: проникая в отражающую среду, оно экспоненциально затухает. Энергия проникающей волны монотонно уменьшается на расстояниях порядка длины световой волны, и это затухание никак не связано с поглощением волны. Результат Эйхенвальда показал, что эффект имеет волновую природу и не может быть описан привычным языком геометрической оптики – световыми лучами. Этот вывод получил вскоре наглядное подтверждение в опыте Л. И. Мандельштама и П. Селени.
В этом опыте стеклянная призма погружалась нижней гранью в жидкость, в которой растворено флюоресцентное вещество (рис.1). Свет, падая через призму на границу жидкости под углом, большим критического, испытывает на границе эффект ПВО. Однако часть светового потока, проникая в тонкий слой приграничной жидкости, вызывает ее флюоресцентное свечение. Цвет флюоресценции отличается от цвета падающего излучения, а свечение пограничного слоя дает возможность наблюдать эффект. Этот опыт подтвердил и другое предсказание Эйхенвальда: световой поток, затухая, проникал в жидкость на малую, но конечную глубину, соизмеримую с длиной волны, и, что было совсем неожиданно, – затухание не было связано с поглощением волны. Такое частичное проникновение света через непрозрачный барьер получило сокращенное название "НПВО" ("нарушенное ПВО").
"Журнал Российского физико–химического общества" напечатал работу Эйхенвальда в 1909 году. В те годы на фоне стремительного развития другой ветви электромагнетизма – радиотехники – концепция НПВО, уточняющая привычный закон преломления света, могла показаться изящной, но непрактичной теорией. Но "ничего нет практичней, чем хорошая теория!"- говорил американец Эдвард Кондон, один из пионеров спектроскопии. И точно: не прошло и двадцати лет, как теории НПВО настал свой черед.
Г. Гамов: от НПВО волн де Бройля к туннелированиию частиц
"Второе дыхание" в теорию НПВО внес Г. А. Гамов. Двадцатитрехлетний выпускник Ленинградского университета, он был направлен, как сказали бы сегодня, на стажировку в Лейпциг и там, в группе самого молодого (26 лет!) профессора Германии В. Гейзенберга, взялся за "горячую" задачу, возникшую в лаборатории первооткрывателя атомного ядра Резерфорда: было известно, что излучение, возникающее при радиоактивном распаде атомных ядер урана, содержит два типа частиц, которые Резерфорд назвал "альфа" и "бета". Известна была и природа этих излучений: в частности, в альфа – частице опознали ядро атома гелия, состоящее из двух нейтронов и двух протонов (название "протон" тоже предложил Резерфорд!). Однако в этой стройной картине появилось и темное пятнышко: покидая материнское ядро, альфа-частица должна была преодолеть потенциальный барьер, созданный ядерными силами притяжения. Расчеты показывали, что работа частицы по преодолению барьера оказывалась больше, чем энергия самой частицы. В который раз возник соблазн объявить о возможном нарушении закона сохранения энергии, на этот раз – в микромире...
В поисках решения Гамов обратил внимание на внешнее сходство недавно предложенного уравнения Шрёдингера, описывающего движение атомных объектов через потенциальный барьер, и волнового уравнения, описывающего прохождение света через слой непрозрачного материала. Представляя формально движение атомного объекта с помощью особого типа волн, так называемых волновых функций, можно было увидеть аналогию между проникновением альфа-частиц через потенциальный барьер и просачиванием электромагнитных волн через непрозрачный слой в режиме НПВО. Независимо от загадки альфа-распада, концепция полного внутреннего отражения "витала в воздухе", всплывая и в другом открытии, сделанном тоже в Англии ещев 1924 году, – отражении радиоволн, излученных наземным передатчиком, от слоя ионизованного газа, окружающего Землю на высоте 90–100 км (тогда еще не говорили про ионосферу, на слуху был "слой Хэвисайда"). От аналогии уравнений оставался один шаг до аналогии решений – и этот шаг был сделан: в 1928 году появилась формула Гамова [2], выражающая, в отличие от привычной механики, экспоненциально малую, но конечную вероятность пролета частицы сквозь барьер, иными словами – вероятность распада атомного ядра. Этот эффект не посягает на закон сохранения энергии: в определении импульса квантовой частицы и координаты всегда присутствуют "неопределенности" и , связанные с постоянной Планка фундаментальным "принципом неопределенности" Гейзенберга: ; при этом "неопределенность" импульса частицы, пролетающей через барьер, допускает "неопределенность" координаты за барьером.
Работа Гамова ввела в язык физики новую фундаментальную концепцию – туннелирование, концепцию, общую для волновых полей различной физической природы. В процессах туннелирования волновые поля изменяются в пространстве апериодически, ключевое понятие "длина волны" не возникает, а фаза волны не меняется. Более полувека эта концепция ассоциировалась с экспоненциально малым пропусканием потоков частиц и волн, туннелирующих через непрозрачные барьеры. Новая жизнь этой концепции, положившая конец привычной "малости", началась с появлением в оптике и электронике особого вида искусственных материалов, так называемых метаматериалов, и новых способов создания миниатюрных наноразмерных оптоэлектронных систем – так называемых нанотехнологий.
Нелокальная нанооптика диэлектрических метаматериалов: когда формулы Френеля не описывают отражение света?
Нанооптика диэлектрических метаматериалов изучает взаимодействие света с тонкими наноразмерными пленками и покрытиями, состоящими из искусственных диэлектриков. Из этой сегодняшней "горячей" области в настоящей статье выделена лишь одна проблема, связанная с конкретным классом нанопленок, получаемых магнетронным напылением атомов тантала и кремния в атмосфере кислорода на кварцевую подложку. В процессе напыления подложка движется по определенному закону, контролирующему процентное содержание образующихся окислов Ta2O5 и SiO2 в напыленных слоях; показатели преломления этих окислов различны, так что такое движение, управляемое компьютерной программой, автоматически обеспечивает заданное пространственное распределение показателя преломления в пленке и вызванные этой неоднородностью эффекты. В электродинамике говорят про нелокальные эффекты, когда отклик среды на электромагнитное поле в заданной точке зависит не только от поля в этой точке, но и от значений поля в некоторой области, окружающей эту точку. Появление градиентных прозрачных нанопленок, показатель преломления которых направленно модулируется в пространстве на расстояниях порядка или даже меньших, чем , привлекло внимание к сильным нелокальным эффектам в отражении, пропускании и дисперсии волн в градиентных прозрачных наноструктурах. Такие эффекты удобно проследить на простой одномерной задаче, когда показатель преломления плоской пленки модулируется в направлении , перпендикулярном к границам пленки: ; здесь – значение на поверхности пленки = 0, на которую падает свет, – безразмерная функция, описывающая распределение показателя преломления (профиль ) внутри пленки. Пример такого распределения, заданного функцией
(1)
показан на рис.2а; комбинации знаков s1 = –1, s2 = +1 и s1 = +1, s2 = –1 в (1) соответствуют выпуклому и вогнутому профилям [3]. Величины L1 и L2, имеющие размерность длины, являются свободными параметрами модели 1 (рис.2), связанными с толщиной слоя и максимумом (минимумом) профиля . Часто используемую модель "профиля Рэлея" [4] можно считать частным случаем более гибкого распределения (1), соответствующем пределу . Напыляя последовательно слои (1), можно получить периодическую градиентную наноструктуру, смежные слои которой показаны на рис.2b. Следует отметить, что технология напыления на движущуюся подложку позволяет получать разнообразные профили , но использование модели 1 (рис.2) особенно удобно, так как в рамках этой модели волновые поля в градиентных средах описываются точными аналитическими решениями, выраженными через элементарные функции. Именно эта модель использовалась в московском ООО "Фотрон – Авто" в работах, связанных с напылением градиентных диэлектрических наноструктур, измерением и расчетом их спектров отражения и пропускания в видимом и ИК-диапазонах; при этом профиль (1) формировался переменным по толщине пленки ( = 140 нм) соотношением содержания окислов Ta2O5 и SiO2 , так что значения максимальны на поверхностях пленки и минимальны в ее центральной плоскости [5]. Для простоты здесь рассматриваются лишь случаи нормального падения излучения на границу 0.
Спектр пропускания периодической наноструктуры , содержащей 11 таких градиентных слоев, показан кривой 1 на рис.3. Этот спектр получен в эксперименте, однако вычислить величины с помощью привычных формул Френеля оказалось невозможно: эти формулы описывают прохождение света через однородную пластинку, характеризуемую разрывами показателя преломления на границах пластинки. Формулы Френеля были выведены для света почти двести лет тому назад; со временем появились аналоги этих выражений и для других волновых задач – например, для отражения волн от скачков импеданса в электромагнитных [6] и акустических [3] системах; эти формулы работают сегодня и при расчете нанооптических структур, основанных на чередовании однородных слоев с высокими и низкими значениями показателя преломления , испытывающими разрывы на границах слоев. В отличие от этого, профиль на границах градиентных пленок, составляющих исследуемую наноструктуру, непрерывен (см. рис.2а), но градиент этого профиля на границах слоев испытывает разрыв. Чтобы найти отражение и пропускание таких структур, потребовалось построить обобщение формул Френеля для прозрачных градиентных сред. Теоретический анализ этой задачи на основе точных аналитических решений уравнений Максвелла для профиля (1), справедливых для любой длины волны, показал, что наряду с разрывами показателя преломления есть еще два эффекта, рассмотренных ниже, характерных для неоднородных сред и формирующих спектры пропускания градиентной "много-
слойки".
1. Отражение от разрыва градиента в непрерывном профиле n(z). Кривая 2 на рис.3 представляет спектр пропускания , рассчитанный с помощью найденных обобщенных формул Френеля для той же периодической наноструктуры, для которой экспериментально измерен спектр (кривая 1). Расхождение значений для кривых 1 и 2 не превышает 2–3%, и эта точность дает основания применить найденные результаты для "конструирования" спектров пропускания и иных градиентных наноструктур, предназначенных для работы в иных спектральных диапазонах, характеризуемых другим числом слоев и другими размерами . Анализ таких спектров открывает неожиданный эффект искусственной дисперсии градиентного слоя. Откладывая рассмотрение этого эффекта и его следствий далее, отметим сейчас еще один механизм отражения волн в неоднородном диэлектрике.
2. Отражение от разрыва кривизны в непрерывном плавном профиле n(z). Эта ситуация показана на рис.4а, представляющем два разных распределения в переходном слое между однородными средами с показателями преломления и . Оба распределения на границах слоя непрерывны; градиенты этих распределений на границах слоя обращаются в нуль, совпадая с нулевым значением градиента в однородном слое. Таким образом, на границах слоя нет ни разрывов показателя преломления , ни разрыва градиентов . Сами профили составлены из вогнутых и выпуклых дуг, представленных частями кривых, показанных на рис.1; эти дуги касаются внутри слоя гладко (градиент каждого профиля в точке касания дуг меняется непрерывно). Переход от вогнутой к выпуклой части гладкого профиля характеризуется разрывом кривизны профиля. Спектры отражений от профилей 1 и 2 (рис.4b) показывают заметную разницу, обусловленную дополнительным отражением в точке разрыва кривизны. Этот эффект создает физическую основу для неразрушающего контроля плавного распределения показателя преломления внутри переходного слоя.
Эти результаты обусловлены сложной фазовой структурой интерферирующих прямых и обратных волн, обусловленной разрывами градиента и кривизны профиля в градиентной пленке. Когда неоднородность в модели (1) исчезает (), указанные механизмы отражения тоже исчезают, и полученные формулы [3] переходят в классические формулы Френеля.
Градиентные фотонные барьеры: искусственная дисперсия и безотражательное туннелирование света
Субволновую прозрачную пленку со специально созданным распределением показателя преломления , контролирующем поток фотонов, образно называют "градиентный фотонный барьер". Важное свойство такого барьера – искусственная дисперсия: в отличие от естественной дисперсии, связанной с локальной зависимостью от частоты волны , дисперсия градиентной среды является нелокальным эффектом, определяемым пространственным распределением . Так, профиль , представленный кривой 1 на рис.2а, характеризуется плазмоподобной дисперсией: в плазме свободных носителей определена плазменная частота , разделяющая спектральные интервалы распространяющихся ( > , волновые числа действительны) и туннелирующих ( < , мнимые волновые числа) полей; эта частота зависит от плотности свободных носителей. Выше неоднократно подчеркивалось, что рассматриваемые здесь нанопленки созданы из диэлектриков без свободных носителей, так что для них плазменная частота не существует. Однако, для пленок без свободных носителей распределение (рис.2а, кривая 1) определяет граничную частоту :
, (2)
зависящую лишь от параметров распределения и ; подобно плазменной частоте частота разделяет спектральные интервалы, соответствующие действительным и мнимым значениям волновых чисел для полей внутри градиентного фотонного барьера. Чтобы "почувствовать" порядок величины , отметим, что, например, для профилей, показанных на рис.3, частота соответствует длине волны из ближнего ИК-диапазона: = = 1320 нм. Частота является характеристикой именно градиентного барьера: если неоднородность ослабевает , то и .
Пользуясь частотой , удобно представить спектры пропускания периодических структур, содержащих градиентных нанопленок (1), в виде обобщенной зависимости от безразмерного параметра , так что интервалу действительных (мнимых) волновых чисел соответствуют области . Расчеты таких спектров, представленные на рис.5, подтвердили ожидаемые эффекты искусственной дисперсии, показанные для одной наноструктуры на рис.4: в области высоких частот нелокальная дисперсия пропускания велика, а величина сильно меняется в зависимости от толщины структуры; в области низких частот – наоборот, дисперсия незначительна, а пропускание волн с мнимыми волновыми числами велико и почти постоянно. Cпектры на рис.5 имеют "универсальный" характер: коэффициент пропускания через периодическую структуру с заданными параметрами и для каждого значения сохраняет свою величину при любых частотах и толщинах пленок , связанных условием
. (3)
На первый взгляд, эти результаты казались странными, особенно утверждение об эффективном переносе энергии волновыми полями с мнимыми волновыми числами, т. е., о переносе в режиме НПВО. Чтобы проверить этот эффект, исследователи Ю. А. Обод и О. Д. Вольпян из Московского НПО "Фотрон – Авто" поставили специальный эксперимент: измерялись спектры пропускания в видимом и ИК-диапазонах для двух различных периодических наноструктур, содержащих, соответственно, 7 и 11 градиентных нанопленок (рис.6). Измерения показали:
узкий глубокий провал и сильную частотную дисперсию пропускания видимого и ближнего ИК-диапазонов (= 1255 нм);
широкополосное плато, соответствующее слабой дисперсии и высокому пропусканию в области , где излучение распространяется через барьер в режиме НПВО и описывается полями с мнимыми волновыми числами;
что особенно интересно – отмеченное высокое пропускание в области НПВО почти не зависит от толщины фотонного барьера, т. е. от количества пленок : разница в значениях и , не превышает 2–3%.
Описанные эффекты обусловлены своеобразной интерференцией прямых и обратных туннелирующих волн, апериодических в пространстве и гармонических во времени; свой вклад в интерференционную картину вносят обратные волны, отражающиеся от обеих границ плоскопараллельной подложки, а коэффициент пропускания составляет в этом случае 92–95%. Если, в отличие от такого отражателя, использовать клиновидную подложку, где волны, отраженные от задней границы, не возвращаются в область интерференции, то в спектре пропускания возникают дискретные "окна прозрачности", где коэффициент пропускания в режиме НПВО достигает 100% (рис.7).
Эти результаты показывают принципиальные различия между эффективным переносом потоков излучения в градиентных структурах в режиме НПВО и экспонециальным ослаблением этих потоков при туннелировании через однородные непрозрачные слои. В отличие от рассмотренного здесь простого случая нормального падения излучения на границу градиентного слоя, при наклонном падении излучения на такой слой условия возникновения режима НПВО существенно различаются для - и - поляризованных волн, а само рассмотрение значительно усложняется [6]. Для простоты ниже обсуждается еще один случай – распространение волн вдоль границы градиентного слоя.
Градиентная оптика поверхностных волн видимого и ИК-диапазонов
Концепцию поверхностных электромагнитных волн на границе проводящей среды ввел в научный обиход А. Зоммерфельд в 1899 году, а еще раньше похожую ситуацию для акустических волн на границе упругого твердого тела обсуждал Рэлей [4]. Распространение поверхностных электромагнитных волн (ПЭВ) вдоль резкой границы сред со свободными носителями – металлов, полупроводников и даже соленой воды – давно является предметом исследований в электронике, радиофизике и геофизике. Однако плавные изменения диэлектрической проницаемости среды в субволновом слое вблизи границы раздела диэлектриков без свободных носителей (градиентный приповерхностный слой, называемый иногда "метаповерхностью") могут полностью перестроить привычную картину ПЭВ, отменяя ряд запретов, ограничивающих условия существования ПЭВ.
В отличие от анализа полей, распространяющихся вдоль градиента , здесь рассматриваются поля, распространяющиеся поперек градиента , т. е. вдоль границ таких диэлектриков. Подчеркивая своеобразие таких полей, удобно сравнить их с поверхностными волнами на резкой границе раздела двух однородных сред со свободными носителями. Поляризация и спектр таких волн, бегущих в направлении вдоль границы (плоскость = 0), хорошо известны [7]:
существование поверхностной волны на границе однородных сред возможно, если диэлектрические проницаемости этих сред удовлетворяют условию: ; это означает, что хотя бы в одной из граничащих сред должно выполняться условие , характерное, например, для плазмы металла или диэлектрика со свободными носителями;
волновое поле содержит компоненты , и ( поляризация); поляризованная поверхностная волна (компоненты , и ) натакой граничной поверхности невозможна;
спектр частот поверхностных волн на границе раздела воздуха и плазмы с плазменной частотой ограничен сверху: .
Традиционной средой для возбуждения таких волн является плазма свободных носителей в металлах и полупроводниках.
В отличие от этого, другое семейство ПЭВ может возникнуть в прозрачном градиентном слое вблизи поверхности прозрачного диэлектрика без свободных носителей, диэлектрическая проницаемость которого убывает от поверхности вглубь среды, так что .
Эти волны удобно рассматривать в рамках точно решаемой модели пространственного распределения показателя преломления диэлектрической среды, :
, (4)
где – произвольный пространственный масштаб, – произвольный безразмерный параметр. Безразмерная функция (рис.8) описывает "насыщение" в глубине среды :
= . (5)
Параметры среды и определяют граничную частоту , зависящую от градиента в приповерхностном слое:
. (6)
Вместе с условиями возбуждения ПЭВ частота ограничивает спектральный интервал, в котором существуют рассматриваемые ПЭВ. В области низких частот волновое поле распространяется вдоль границы диэлектрика и спадает в обе стороны от этой границы. Частота в диэлектрике без свободных носителей напоминает частоту , ограничивающую спектр ПЭВ в электронной плазме; однако, в отличие от плазмы, граничная частота , контролируемая технологией изготовления градиентного слоя, может быть создана в среде без свободных носителей в заранее заданном спектральном интервале.
Оптимизация параметров и характерной толщины приповерхностного слоя позволит обеспечить формирование S-поляризованных поверхностных волн в узких спектральных интервалах в диэлектриках с фиксированными значениями показателя преломления вдали от поверхности. Так, в диэлектрике, характеризуемом параметрами = 1,42, = 2, = 50 нм, спектральный интервал для указанных поверхностных волн существует в ближнем ИК-диапазоне, ограниченном частотами = 2,13 · 1015 рад/с (= 884,5 нм) и = 2,016 · 1015 рад/с ( = 935,5 нм); ширина интервала составляет 50,5 нм. Однако, при тех же значениях и , уменьшение толщины слоя ( = 30 нм) ведет к формированию узкой спектральной полосы в видимом диапазоне = 3,55 · 1015 рад/с ( = 530,7 нм) и = 3,36 · 1015 рад/с ( = 560,7 нм), так что ширина интервала сужается до = 30 нм.
Для существования поверхностных волн на поверхности диэлектрика требуется переходный слой конечной толщины; при расширении этого слоя критическая частота (6) уменьшается до нуля, и рассматриваемая ветвь волнового спектра исчезает. Конечные значения определяют характерные особенности таких волн на градиентной поверхности:
Критическая частота (верхняя граница спектра поверхностных мод), определяемая профилем показателя преломления диэлектрика вблизи поверхности, характеризует искусственную дисперсию диэлектрика лишь в тонком приповерхностном слое.
Возможности выбора критической частоты, определяемые нелокальной дисперсией градиентного приповерхностного слоя, позволяют расширить спектр частот поверхностных волн как в коротковолновую, так и в длинноволновую части спектра.
Потери на затухание поверхностных волн можно оптимизировать, выбирая градиентный материал, полосы поглощения которого расположены вдали от используемых частот этих волн.
Выбор параметров распределения (3) позволяет ослабить затухание поверхностной волны на границе среда – воздух за счет "вытеснения" волнового поля из диссипативной среды в воздух.
Представляет интерес трехмерная периодическая структура, локализованная вблизи поверхности градиентного диэлектрика, которая может быть создана при интерференции двух поверхностных электромагнитных волн одной частоты . Толщина слоя, где локализована поверхностная мода средневолнового ИК диапазона, составляет величину порядка 0,1–1 мкм и контролируется величиной , определяемой технологией напыления поверхностного слоя.
Следует подчеркнуть, что в отличие от традиционного рассмотрения ПЭВ на поверхностях материалов со свободными носителями, указанные эффекты в градиентных диэлектриках без носителей существенно расширяют как спектральный диапазон существования ПЭВ, так и круг материалов, перспективных для создания новых систем ПЭВ.
От туннелирования света к туннелированию звука?
Характерные частоты (2) и (6) в диэлектрическом слое без свободных электронов напоминают плазменные частоты в металлах и полупроводниках, но – и в этом принципиальное отличие! – частоты и могут быть созданы в любой наперед заданной части спектра. Эта свобода выбора открывает возможности оптимизации параметров градиентных сред применительно к нужному частотному интервалу в разных частях спектра электромагнитного излучения – от света до радиоволн [8]. Более того, эффекты искусственной дисперсии для волн различной физической природы в градиентных средах зачастую описываются сходными решениями волновых уравнений, подтверждая вынесенные в эпиграф крылатые слова одного из отцов – основателей статистической физики Д. В. Гиббса. Свежим примером такого "прорастания" концепции искусственной нелокальной дисперсии между разными областями волновой физики является анализ акустической дисперсии твердого тела с контролируемыми распределениями плотности и упругих параметров. Такая дисперсия может привести к ряду эффектов "градиентной акустики", аналогичных эффектам градиентной оптики, и, в частности, к неожиданному эффекту туннелирования звука в неоднородных твердых материалах [3]. Эти разработки находятся сегодня в начале пути, представляя пока, как говорил известный киногерой, "информацию к размышлению".
Литература
Эйхенвальд А. А. – ЖРФХО, 1909, 41, 131.
Gamow G. A. – Z. Phys., 1928, 51, 204 .
Shvartsburg A. B. , Maradudin A. A. Waves in Gradient Metamaterials. – WSPC, 2013.
Стретт Д. В. Теория Звука. – М., ГИТТЛ, 1955.
Shvartsburg A. B. , Obod Yu.A. , Kuzmichev A. I. , Volpian O. D. , Parkhomenko Yu.N. – Optical Materials Express, 2014 , 4 (11), 2250.
Shvartsburg A. B., Kuzmiak V. , Petite G. – Phys. Rev., 2007, E 76, 016603.
Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Электродинамика Сплошных Сред" – М.: Наука, 1992.
Отзывы читателей
