eng
Предложен ответ на вопрос о скорости распространения света относительно источника и приемника при их взаимном движении в соответствии с электродинамикой Максвелла. Этот ответ получен при формальном преобразовании и решении волнового уравнения в соответствии с преобразованиями Галилея.
Теги: lorenz transformation laws maxwell electrodynamics relativity principle преобразования лоренца принцип относительности электродинамика максвелла
Преобразование волнового уравнения
Рассмотрим теперь, как преобразуется волновое уравнение при замене переменных в соответствии с преобразованием Галилея (ПГ) (формула (1.2) из [1]). "Физически" преобразование означает переход в систему координат "наблюдателя", который движется относительно неподвижного источника или эфира, т.е. системы координат, в которой уравнения Максвелла имеют канонический вид. Выражение для полей имеет вид:
(2.1)
Лоренцева калибровка преобразуется в:
(2.2)
Подставив (2.1) в первое из уравнений системы уравнений Максвелла, с учетом Лоренцевой калибровки получим:
Этот же результат можно получить, найдя, как преобразуется при ПГ волновой оператор (даламбертиан) . Используя формулы (1.3) [1], получаем:
Оператор назовем "обобщенным (на случай движения относительно эфира)" даламбертианом. Очевидно, что он инвариантен относительно ПГ, так как переход от одной системы к другой сводится просто к замене на , а канонический вид – есть просто частный случай . Фундаментальное решение "обобщенного" даламбертиана находится, как обычно, с помощью преобразования Фурье [2]. Решение этого уравнения показывает, что фурье-образ фундаментального решения "обобщенного" даламбертиана отличается от фурье-образа "обычного" даламбертиана лишь "оператором" трансляции :
Воспользуемся свойством преобразования фурье-сдвига и получим, что и фундаментальное решение "обобщенного" даламбертиана полностью галилей-инвариантно. То есть все изменение сводится к замене на :
Теперь следует сделать весьма важное замечание. Фундаментальное решение классического даламбертиана дает скорость распространения возмущения (взаимодействия) относительно начала координат – положения неподвижного заряда – равной константе с (постулат Эйнштейна). Для обобщенного – в полном соответствии с ПГ – при совпадении направлений и наблюдатель приближается к мгновенно действующему источнику, расположенному в начале координат новой системы . В самом деле, эта скорость определяется из условия обращения в нуль аргумента у дельта-функции. Она равна для классического а для обобщенного r′ / t, что найдется из условия . Решение последнего уравнения дает:
Используя очевидное тождество:
получаем, что скорость движения фронта в направлении действительно равна:
при
(2.3)
и , при
Если же для описания перехода использовать преобразования Лоренца, то, хотя волновой оператор и останется неизменным, фундаментальное решение все же изменится:
Тогда, рассчитав скорость распространения сигнала, как и в предыдущем случае, мы опять получим галилееву формулу сложения скоростей. В самом деле, хотя аргумент у δ-функции и остался неизменным, изменился аргумент у θ-функции, обращение в 0 которого определяет начальный момент времени в новой системе координат.
Можно показать, что любые преобразования, сохраняющие вид волнового оператора или обеспечивающие инвариантность интервала (в терминологии СТО), а таких преобразований, на самом деле, бесконечно много, не изменяют галилееву формулу сложения скоростей для света, так как эта формула – просто следствие классического определения скорости.
Из проведенного рассмотрения следует и закон преобразования плоской волны при преобразовании Галилея. Если в лабораторной системе выражение для волны имеет вид:
то при переходе в движущуюся систему это выражение преобразуется в соответствии с (2.3) в
Видно, что переход в новую систему свелся к изменению частоты волны в соответствии с эффектом Доплера (как продольным, так и поперечным), но длина волны осталась неизменной. Фазовая и групповая скорости в новой системе даются, естественно, выражением (2.3). Таким образом, движение наблюдателя относительно источника возмущения легко обнаруживается по эффекту Доплера, но не может быть обнаружено, например, по изменению интерференционной картины в силу сохранения длины волны. Это и понятно, ведь длина – есть инвариант преобразования Галилея. В случае некорректного применения преобразований Галилея (замены с в выражении на ) длина волны изменится. При этом частота останется прежней, хотя фазовая и групповая скорости и останутся равными . (Если же совершить переход в движущуюся систему в соответствии с преобразованиями Лоренца, то фазовая и групповая скорости останутся равными с, но длина волны и частота изменятся.)
Почти очевидно, что в отсутствие относительного движения источника и приемника (наблюдателя) невозможно обнаружить абсолютное движение по эффекту Доплера. Тем не менее (для пущей убедительности), приведем элементарный расчет. Пусть в момент t = 0 источник, движущейся со скоростью относительно эфира, испускает квант излучения. Этот квант попадает в приемник в момент t. Следующий квант испускается из источника через dt. Он попадает в приемник в момент t + dt’. Время движения первого кванта составит: где – радиус-вектор, соединяющий источник и приемник и направленный от источника к приемнику. Тогда
где сотн – скорость движения кванта относительно источника по направлению, соединяющему источник и приемник в момент попадания в приемник первого кванта – . Для второго кванта имеем:
После разложения в ряд Маклорена получим:
(2.4)
где
Легко видеть, что при источник и приемник движутся с одинаковыми скоростями относительно эфира, т.е. dt′ = dt. Никто, например, при поездке в открытой машине не замечал изменения тона голоса собеседника или музыки, доносящейся из приемника. Тогда как реальный, не эфирный ветер отчетливо свистит в ушах, а звук проносящихся мимо машин явственно меняет тон в силу эффекта Доплера. Ветер, конечно, относит слова собеседника, т.е. громкость уменьшается, но вот тембр остается неизменным.
Отметим, что определить скорость света (взаимодействия) относительно равномерно движущегося источника (заряда), исследуя фундаментальное решение, невозможно. Решение соответствующего уравнения для мгновенно действующего заряда: совпадает с классическим фундаментальным решением, а не с решением для обобщенного даламбертиана. Это обстоятельство является следствием неопределенности движения мгновенно действующего источника. В самом деле, применение преобразования Фурье к этому уравнению дает:
Умножая обе части уравнения на , получаем:
,
или, обозначая , так что
опять приходим к уравнению для фурье-образа обобщенного даламбертиана с точностью до изменения знака при первой производной по времени. Таким образом, выражение:
– фурье-образ фундаментального решения обычного волнового уравнения. Проведенную выкладку можно рассматривать как третий, возможно, самый простой и естественный вывод обобщенного волнового уравнения, раскрывающий его Галилей-инвариантность или же справедливость в определенном смысле постулата Эйнштейна и принципа относительности в формулировке Пуанкаре.
Что имеется в виду помимо невозможности обнаружения абсолютного движения по эффекту Доплера? ПГ преобразования волнового уравнения приводят к замене классического даламбертиана на обобщенный в левой части и замене аргумента на – в правой. В пространстве фурье-образов это же преобразование приведет к умножению обеих частей уравнения на один и тот же оператор трансляции. Так что решение останется неизменным с точностью до галилеевой замены аргумента. То есть, если в правой части классического волнового уравнения стоит функция, описывающая равномерное движение действующего заряда, то любой ПГ-переход, в частности и переход в систему, где этот заряд покоится (переход к обобщенному даламбертиану), будет давать решение для равномерно движущегося заряда с точностью до изменения аргумента. Однако в этом случае будет не скорость движения заряда, так как заряд покоится, а скорость движения наблюдателя или пробного заряда относительно эфира.
Напротив, если в правой части стоит функция, описывающая покоящийся действующий заряд, то решение при любом ПГ-переходе будет "чисто кулоновским", т.е. не содержащим никакой нетривиальной зависимости от скорости. Это означает, что каноническая система УМ в формуле (1.1) из [1] неявно подразумевает наличие неподвижного в данной системе наблюдателя (эфира), относительно которого и движется действующий заряд. При ПГ-преобразовании alias как действующий, так и неподвижный пробный, или, если угодно, наблюдатель, или эфир, приобретают одинаковую скорость, так что их относительная скорость остается неизменной, а значит, и решения не изменяются с точностью до замены аргумента.
Кажется, что ни то, ни другое "поведение" решений (или полей) не удовлетворяет, во всех смыслах, принципу относительности, так как позволяет определить абсолютное движение каждого из зарядов. Понятно поэтому стремление ученых конца 19 – начала 20 веков придумать процедуру, устраняющую эту "несообразность", хотя и руководствовались они при этом несколько другими аргументами. Вопрос о том, что является причиной этой "несообразности" – сами УМ (УМ совершенно галилей-инвариантные, как мы уже выяснили в 1-й части статьи), процедура вывода волновых уравнений или что-то еще, – требует более детального рассмотрения. Пока же остановимся более подробно на скорости распространения взаимодействия относительно движущегося действующего заряда.
Скорость распространения взаимодействия
в электродинамике Максвелла
Для однозначного ответа на вопрос о скорости распространения взаимодействия относительно источника следует решить волновое уравнение, правая часть которого содержит Q-функцию от t. То есть найти поле равномерно движущегося заряда, "включающегося" в момент t = 0. Решение существует и выражается в виде свертки:
Опуская довольно длительные выводы, приведем окончательное выражение:
Как легко видеть, скорость распространения взаимодействия относительно движущегося действующего заряда, находящегося в точке , равна . Она находится из условия обращения в нуль аргумента Q-функции. Однако этот аргумент может быть переписан в виде (ct – r) в полном соответствии с постулатом Эйнштейна. Это следует из того, что приравнивание аргумента Q-функции нулю дает уравнение относительно неизвестной t, собственно и определяющее время, необходимое для распространения взаимодействия. Такое приравнивание равносильно перемещению из точки, где находится действующий заряд в момент t, в начало координат, и в этом случае t становится равным r/c. Таким образом, выражение для потенциала равномерно движущегося заряда, включающегося в момент t = 0, приобретает вполне классический вид. Взаимодействие распространяется из точки 0 со скоростью с независимо от состояния движения и скорости действующего заряда, что объясняется использованием в свертке фундаментального решения классического даламбертиана, а не обобщенного. Итак, время, которое требуется "кванту" взаимодействия, чтобы пройти путь от действующего заряда к пробному, равно расстоянию между зарядами в момент взаимодействия , деленному на скорость "кванта" относительно действующего заряда . Но это же время равно
отношению расстояния между зарядами в момент начала взаимодействия к скорости относительно пробного заряда, что для неподвижного пробного заряда равно r/c. Получается, что скорость распространения взаимодействия действительно не зависит от скорости движения его источника. Т.е. решения представляют собой бесконечные суммы сферических фронтов, распространяющихся со скоростью с относительно каждой точки их излучения, вне зависимости от скорости перемещения этих точек, т.е. скорости движения заряда. Другими словами, заряд как бы все время отрывается от поля, т.е. от мгновенно действующих точечных источников, подобно тому, как отрывается брошенный по касательной к поверхности воды плоский камень от оставляемых им на воде центров расходящихся волн. Поэтому и решение для мгновенно действующего источника не позволяет определить скорость – "камень касается воды лишь один раз". "Роль воды" выполняет в данном случае эфир, т.е. система координат, в которой пробный заряд покоится, а действующий движется, и в которой волновой оператор имеет канонический вид.
Еще один вывод, следующий из решения (как полученного, так и классического Лоренца-Пуанкаре), состоит в том, что сила взаимодействия (для неподвижного пробного заряда) совпадает по направлению не с направлением распространения взаимодействия, т.е. , но с направлением этой скорости относительно действующего заряда, т.е. . Это означает, что сила, действующая со стороны движущегося заряда на неподвижный пробный, всегда центральна (направлена по прямой, соединяющей заряды в момент взаимодействия) вне зависимости от скорости движения действующего заряда. Точно так же для движущегося пробного заряда (при движущемся действующем) сила будет всегда нецентральной – появляется "магнитная" составляющая. В силу очевидной относительности движения пробного и действующего зарядов подобный вывод противоречит здравому смыслу и отражает факт неинвариантности электродинамики Максвелла в целом, включая выражения для действующих сил, относительно ПГ или, точнее, невыполнения принципа относительности, т.к. сами по себе ПГ здесь ни при чем. Решение, которое дает только центральную силу для покоящегося пробного заряда при движущемся действующем, в общефилософском смысле противоречит допущению о запаздывании взаимодействия. В самом деле, если запаздывание имеет место, а для неподвижных зарядов сила центральна, то логично предположить, что сила должна действовать по прямой, соединяющей заряды в предшествующий момент времени, т.е. совсем необязательно быть центральной. (Она может быть центральной только при .) Попытаемся разобраться, в чем тут дело.
Если считать, что поле определяется предшествующим моментом, то время запаздывания τ определяется (как и при вычислении потенциалов Лиенара-Вихерта [3]) выражением
Разрешая это уравнение относительно τ, получаем, как и следовало ожидать в соответствии с ПГ:
так что
(2.5)
Тогда выражение для скалярного потенциала, в предположении , имело бы вид:
(2.6.)
А это, как видно, вовсе не соответствует полученному решению. Однако выражение для потенциала Лиенара-Вихерта имеет другой вид, а именно:
(2.7)
где , и обосновывается с привлечением аргументов СТО. Расчет по этой формуле с использованием t из (2.5) дает выражение, совпадающее с классическим.
Но выражение (2.7) имеет и совершенно прозрачную ПГ-трактовку. Член – есть не что иное, как отношение времени между моментами последовательных приходов сферических фронтов для неподвижного – dt и движущегося – dt’ действующего заряда. По смыслу свертки, т.е. последовательного суммирования распространяющихся сферических фронтов (фундаментального решения), излучаемых через dt, нужно суммировать приходящие в точку нахождения пробного заряда фронты, у которых разница во времени между приходами составляет интервал dt’. Он отнюдь не равен dt. В самом деле, пусть первый фронт излучается в момент t = 0, когда расстояние между зарядами равно R. (Можно было бы рассмотреть и произвольный момент t, важно лишь, что R – это расстояние между зарядами в предшествующий момент времени – R(t’).) К пробному заряду этот фронт подойдет в момент t = 0 + R/c. Второй фронт излучается в момент времени t = dt, когда расстояние между зарядами равно , где – скорость действующего заряда в лабораторной системе. В точку нахождения пробного заряда второй фронт попадает в момент . Таким образом, промежуток времени между последовательными приходами фронтов в точку нахождения пробного заряда составляет:
Разлагая второй член правой части равенства в ряд Маклорена по dt с точностью до линейных членов и приводя подобные члены, получаем окончательно:
так что
Таким образом, потенциалы Лиенара-Вихерта и классическое решение получают совершенно ясную и прозрачную физическую трактовку:
(2.8)
Чтобы рассчитать потенциал равномерно движущегося заряда, нужно подставить в выражение для потенциала покоящегося заряда ϕ = q/R значение расстояния в предшествующий момент времени, вычисленное в соответствии с ПГ. Надо также учесть изменение времени последовательного прихода фронтов вследствие движения действующего заряда (в некотором смысле – эффект Доплера), опять-таки вычисленное с помощью ПГ. "Продольные" члены исчезают просто потому, что dt’, выраженное через , а не через , имеет вид
(в (2.4) достаточно положить ). Так что dt’, будучи подставленным в (2.8) с учетом (2.6), дает классическое выражение. Ведь члены в фигурных скобках, находящиеся в числителе и знаменателе и содержащие "продольные" члены, взаимно сокращаются. Таким образом, решение зависит только от отношения значения проекции к с, вычисленной в соответствии с ПГ. Но не зависит от проекции скорости движения действующего заряда на направление движения. Чисто "физически" это понятно. Для (скорость действующего заряда совпадает по направлению с вектором, соединяющим заряды) изменение расстояния за счет запаздывания компенсируется изменением скорости "прихода фронтов взаимодействия". То есть, насколько расстояние в момент взаимодействия больше соответствующего расстояния в предшествующий момент, на столько же и промежуток времени между их последовательными приходами в точку пробного заряда будет больше. В итоге сказывается только изменение времени за счет, так сказать, "поперечного эффекта Доплера".
Ясно, что потенциалы вычислены вполне правильно и физически понятны (в рамках выбранной модели). Из приведенного простого расчета видно, что поле равномерно движущегося заряда могло быть вычислено еще во времена Гюйгенса, т.е. когда не нужно было дожидаться ни создания теории относительности (или решения Лоренца-Пуанкаре), ни развития теории обобщенных функций. Достаточно было произвести лишь простое суммирование сферических фронтов в соответствии с принципом Гюйгенса и преобразованиями Галилея. При этом, конечно же, надо было бы учесть специфику модели, а именно – постоянство скорости распространения фронта относительно точки его испускания вне зависимости от состояния движения источника. Однако невыполнимость принципа относительности, отмеченная выше, означает, что выражение для силы взаимодействия зарядов, скорее всего, нуждается в корректировке.
Из проведенного краткого рассмотрения можно сделать следующие выводы:
Будучи квазиконтинуальной феноменологической моделью, система уравнений Максвелла неявно подразумевает наличие среды – эфира, относительно которого и движутся заряды (абсолютное движение) помимо их взаимного относительного движения.
Абсолютное движение, вероятно, может быть обнаружено при изучении собственно электромагнитных явлений (сила Лоренца). А относительное движение – оптических явлений (эффект Доплера). При этом постулат Эйнштейна о независимости абсолютной скорости света от состояния движения излучателя конечно же выполняется, так как отражает лишь специфику данной модели. Относительная же скорость как для излучателя, так и для приемника определяется в соответствии с преобразованиями Галилея, являющимися следствием классического определения скорости.
Электродинамика Максвелла (включая выражения для сил) не удовлетворяет принципу относительности как при описании собственно электрических и магнитных явлений, так и оптических. Что и констатировал Эйнштейн, эта цитата приведена в начале статьи. В качестве примера такой асимметрии он рассматривал систему, состоящую из магнита и проводника. В случае свободных зарядов описание также не удовлетворяет принципу относительности. Сила, с которой первый из этих зарядов действует на второй, – чисто электрическая, так как в первой системе магнитное поле равно нулю, а во второй – пробный заряд покоится. Сила, таким образом, в обеих системах центральна, но в первой – вычисляется просто в соответствии с законом Кулона и не содержит зависимости от скорости, а во второй – по формулам поля равномерно движущегося заряда, содержащим такую зависимость. При переходе же в систему, где оба заряда движутся, сила становится нецентральной и зависит от скоростей обоих зарядов относительно неподвижного наблюдателя в этой системе (т.е. "эфира"), а не от их относительной скорости, как следовало бы ожидать при выполнении принципа относительности.
В какой мере указанные противоречия были преодолены в рамках СТО будет выяснено в 3-й части данной работы.
ЛИТЕРАТУРА
Щитов Н. Относительность в электродинамике Максвелла. Часть 1.– Фотоника, 2011, № 4.
Владимиров В. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976.
Ландау Л., Лифшиц Е. Краткий курс теоретической физики. Книга 1. – М.: Наука, 1969.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. – М.: Мир, 1976.
Рассмотрим теперь, как преобразуется волновое уравнение при замене переменных в соответствии с преобразованием Галилея (ПГ) (формула (1.2) из [1]). "Физически" преобразование означает переход в систему координат "наблюдателя", который движется относительно неподвижного источника или эфира, т.е. системы координат, в которой уравнения Максвелла имеют канонический вид. Выражение для полей имеет вид:
(2.1)
Лоренцева калибровка преобразуется в:
(2.2)
Подставив (2.1) в первое из уравнений системы уравнений Максвелла, с учетом Лоренцевой калибровки получим:
Этот же результат можно получить, найдя, как преобразуется при ПГ волновой оператор (даламбертиан) . Используя формулы (1.3) [1], получаем:
Оператор назовем "обобщенным (на случай движения относительно эфира)" даламбертианом. Очевидно, что он инвариантен относительно ПГ, так как переход от одной системы к другой сводится просто к замене на , а канонический вид – есть просто частный случай . Фундаментальное решение "обобщенного" даламбертиана находится, как обычно, с помощью преобразования Фурье [2]. Решение этого уравнения показывает, что фурье-образ фундаментального решения "обобщенного" даламбертиана отличается от фурье-образа "обычного" даламбертиана лишь "оператором" трансляции :
Воспользуемся свойством преобразования фурье-сдвига и получим, что и фундаментальное решение "обобщенного" даламбертиана полностью галилей-инвариантно. То есть все изменение сводится к замене на :
Теперь следует сделать весьма важное замечание. Фундаментальное решение классического даламбертиана дает скорость распространения возмущения (взаимодействия) относительно начала координат – положения неподвижного заряда – равной константе с (постулат Эйнштейна). Для обобщенного – в полном соответствии с ПГ – при совпадении направлений и наблюдатель приближается к мгновенно действующему источнику, расположенному в начале координат новой системы . В самом деле, эта скорость определяется из условия обращения в нуль аргумента у дельта-функции. Она равна для классического а для обобщенного r′ / t, что найдется из условия . Решение последнего уравнения дает:
Используя очевидное тождество:
получаем, что скорость движения фронта в направлении действительно равна:
при
(2.3)
и , при
Если же для описания перехода использовать преобразования Лоренца, то, хотя волновой оператор и останется неизменным, фундаментальное решение все же изменится:
Тогда, рассчитав скорость распространения сигнала, как и в предыдущем случае, мы опять получим галилееву формулу сложения скоростей. В самом деле, хотя аргумент у δ-функции и остался неизменным, изменился аргумент у θ-функции, обращение в 0 которого определяет начальный момент времени в новой системе координат.
Можно показать, что любые преобразования, сохраняющие вид волнового оператора или обеспечивающие инвариантность интервала (в терминологии СТО), а таких преобразований, на самом деле, бесконечно много, не изменяют галилееву формулу сложения скоростей для света, так как эта формула – просто следствие классического определения скорости.
Из проведенного рассмотрения следует и закон преобразования плоской волны при преобразовании Галилея. Если в лабораторной системе выражение для волны имеет вид:
то при переходе в движущуюся систему это выражение преобразуется в соответствии с (2.3) в
Видно, что переход в новую систему свелся к изменению частоты волны в соответствии с эффектом Доплера (как продольным, так и поперечным), но длина волны осталась неизменной. Фазовая и групповая скорости в новой системе даются, естественно, выражением (2.3). Таким образом, движение наблюдателя относительно источника возмущения легко обнаруживается по эффекту Доплера, но не может быть обнаружено, например, по изменению интерференционной картины в силу сохранения длины волны. Это и понятно, ведь длина – есть инвариант преобразования Галилея. В случае некорректного применения преобразований Галилея (замены с в выражении на ) длина волны изменится. При этом частота останется прежней, хотя фазовая и групповая скорости и останутся равными . (Если же совершить переход в движущуюся систему в соответствии с преобразованиями Лоренца, то фазовая и групповая скорости останутся равными с, но длина волны и частота изменятся.)
Почти очевидно, что в отсутствие относительного движения источника и приемника (наблюдателя) невозможно обнаружить абсолютное движение по эффекту Доплера. Тем не менее (для пущей убедительности), приведем элементарный расчет. Пусть в момент t = 0 источник, движущейся со скоростью относительно эфира, испускает квант излучения. Этот квант попадает в приемник в момент t. Следующий квант испускается из источника через dt. Он попадает в приемник в момент t + dt’. Время движения первого кванта составит: где – радиус-вектор, соединяющий источник и приемник и направленный от источника к приемнику. Тогда
где сотн – скорость движения кванта относительно источника по направлению, соединяющему источник и приемник в момент попадания в приемник первого кванта – . Для второго кванта имеем:
После разложения в ряд Маклорена получим:
(2.4)
где
Легко видеть, что при источник и приемник движутся с одинаковыми скоростями относительно эфира, т.е. dt′ = dt. Никто, например, при поездке в открытой машине не замечал изменения тона голоса собеседника или музыки, доносящейся из приемника. Тогда как реальный, не эфирный ветер отчетливо свистит в ушах, а звук проносящихся мимо машин явственно меняет тон в силу эффекта Доплера. Ветер, конечно, относит слова собеседника, т.е. громкость уменьшается, но вот тембр остается неизменным.
Отметим, что определить скорость света (взаимодействия) относительно равномерно движущегося источника (заряда), исследуя фундаментальное решение, невозможно. Решение соответствующего уравнения для мгновенно действующего заряда: совпадает с классическим фундаментальным решением, а не с решением для обобщенного даламбертиана. Это обстоятельство является следствием неопределенности движения мгновенно действующего источника. В самом деле, применение преобразования Фурье к этому уравнению дает:
Умножая обе части уравнения на , получаем:
,
или, обозначая , так что
опять приходим к уравнению для фурье-образа обобщенного даламбертиана с точностью до изменения знака при первой производной по времени. Таким образом, выражение:
– фурье-образ фундаментального решения обычного волнового уравнения. Проведенную выкладку можно рассматривать как третий, возможно, самый простой и естественный вывод обобщенного волнового уравнения, раскрывающий его Галилей-инвариантность или же справедливость в определенном смысле постулата Эйнштейна и принципа относительности в формулировке Пуанкаре.
Что имеется в виду помимо невозможности обнаружения абсолютного движения по эффекту Доплера? ПГ преобразования волнового уравнения приводят к замене классического даламбертиана на обобщенный в левой части и замене аргумента на – в правой. В пространстве фурье-образов это же преобразование приведет к умножению обеих частей уравнения на один и тот же оператор трансляции. Так что решение останется неизменным с точностью до галилеевой замены аргумента. То есть, если в правой части классического волнового уравнения стоит функция, описывающая равномерное движение действующего заряда, то любой ПГ-переход, в частности и переход в систему, где этот заряд покоится (переход к обобщенному даламбертиану), будет давать решение для равномерно движущегося заряда с точностью до изменения аргумента. Однако в этом случае будет не скорость движения заряда, так как заряд покоится, а скорость движения наблюдателя или пробного заряда относительно эфира.
Напротив, если в правой части стоит функция, описывающая покоящийся действующий заряд, то решение при любом ПГ-переходе будет "чисто кулоновским", т.е. не содержащим никакой нетривиальной зависимости от скорости. Это означает, что каноническая система УМ в формуле (1.1) из [1] неявно подразумевает наличие неподвижного в данной системе наблюдателя (эфира), относительно которого и движется действующий заряд. При ПГ-преобразовании alias как действующий, так и неподвижный пробный, или, если угодно, наблюдатель, или эфир, приобретают одинаковую скорость, так что их относительная скорость остается неизменной, а значит, и решения не изменяются с точностью до замены аргумента.
Кажется, что ни то, ни другое "поведение" решений (или полей) не удовлетворяет, во всех смыслах, принципу относительности, так как позволяет определить абсолютное движение каждого из зарядов. Понятно поэтому стремление ученых конца 19 – начала 20 веков придумать процедуру, устраняющую эту "несообразность", хотя и руководствовались они при этом несколько другими аргументами. Вопрос о том, что является причиной этой "несообразности" – сами УМ (УМ совершенно галилей-инвариантные, как мы уже выяснили в 1-й части статьи), процедура вывода волновых уравнений или что-то еще, – требует более детального рассмотрения. Пока же остановимся более подробно на скорости распространения взаимодействия относительно движущегося действующего заряда.
Скорость распространения взаимодействия
в электродинамике Максвелла
Для однозначного ответа на вопрос о скорости распространения взаимодействия относительно источника следует решить волновое уравнение, правая часть которого содержит Q-функцию от t. То есть найти поле равномерно движущегося заряда, "включающегося" в момент t = 0. Решение существует и выражается в виде свертки:
Опуская довольно длительные выводы, приведем окончательное выражение:
Как легко видеть, скорость распространения взаимодействия относительно движущегося действующего заряда, находящегося в точке , равна . Она находится из условия обращения в нуль аргумента Q-функции. Однако этот аргумент может быть переписан в виде (ct – r) в полном соответствии с постулатом Эйнштейна. Это следует из того, что приравнивание аргумента Q-функции нулю дает уравнение относительно неизвестной t, собственно и определяющее время, необходимое для распространения взаимодействия. Такое приравнивание равносильно перемещению из точки, где находится действующий заряд в момент t, в начало координат, и в этом случае t становится равным r/c. Таким образом, выражение для потенциала равномерно движущегося заряда, включающегося в момент t = 0, приобретает вполне классический вид. Взаимодействие распространяется из точки 0 со скоростью с независимо от состояния движения и скорости действующего заряда, что объясняется использованием в свертке фундаментального решения классического даламбертиана, а не обобщенного. Итак, время, которое требуется "кванту" взаимодействия, чтобы пройти путь от действующего заряда к пробному, равно расстоянию между зарядами в момент взаимодействия , деленному на скорость "кванта" относительно действующего заряда . Но это же время равно
отношению расстояния между зарядами в момент начала взаимодействия к скорости относительно пробного заряда, что для неподвижного пробного заряда равно r/c. Получается, что скорость распространения взаимодействия действительно не зависит от скорости движения его источника. Т.е. решения представляют собой бесконечные суммы сферических фронтов, распространяющихся со скоростью с относительно каждой точки их излучения, вне зависимости от скорости перемещения этих точек, т.е. скорости движения заряда. Другими словами, заряд как бы все время отрывается от поля, т.е. от мгновенно действующих точечных источников, подобно тому, как отрывается брошенный по касательной к поверхности воды плоский камень от оставляемых им на воде центров расходящихся волн. Поэтому и решение для мгновенно действующего источника не позволяет определить скорость – "камень касается воды лишь один раз". "Роль воды" выполняет в данном случае эфир, т.е. система координат, в которой пробный заряд покоится, а действующий движется, и в которой волновой оператор имеет канонический вид.
Еще один вывод, следующий из решения (как полученного, так и классического Лоренца-Пуанкаре), состоит в том, что сила взаимодействия (для неподвижного пробного заряда) совпадает по направлению не с направлением распространения взаимодействия, т.е. , но с направлением этой скорости относительно действующего заряда, т.е. . Это означает, что сила, действующая со стороны движущегося заряда на неподвижный пробный, всегда центральна (направлена по прямой, соединяющей заряды в момент взаимодействия) вне зависимости от скорости движения действующего заряда. Точно так же для движущегося пробного заряда (при движущемся действующем) сила будет всегда нецентральной – появляется "магнитная" составляющая. В силу очевидной относительности движения пробного и действующего зарядов подобный вывод противоречит здравому смыслу и отражает факт неинвариантности электродинамики Максвелла в целом, включая выражения для действующих сил, относительно ПГ или, точнее, невыполнения принципа относительности, т.к. сами по себе ПГ здесь ни при чем. Решение, которое дает только центральную силу для покоящегося пробного заряда при движущемся действующем, в общефилософском смысле противоречит допущению о запаздывании взаимодействия. В самом деле, если запаздывание имеет место, а для неподвижных зарядов сила центральна, то логично предположить, что сила должна действовать по прямой, соединяющей заряды в предшествующий момент времени, т.е. совсем необязательно быть центральной. (Она может быть центральной только при .) Попытаемся разобраться, в чем тут дело.
Если считать, что поле определяется предшествующим моментом, то время запаздывания τ определяется (как и при вычислении потенциалов Лиенара-Вихерта [3]) выражением
Разрешая это уравнение относительно τ, получаем, как и следовало ожидать в соответствии с ПГ:
так что
(2.5)
Тогда выражение для скалярного потенциала, в предположении , имело бы вид:
(2.6.)
А это, как видно, вовсе не соответствует полученному решению. Однако выражение для потенциала Лиенара-Вихерта имеет другой вид, а именно:
(2.7)
где , и обосновывается с привлечением аргументов СТО. Расчет по этой формуле с использованием t из (2.5) дает выражение, совпадающее с классическим.
Но выражение (2.7) имеет и совершенно прозрачную ПГ-трактовку. Член – есть не что иное, как отношение времени между моментами последовательных приходов сферических фронтов для неподвижного – dt и движущегося – dt’ действующего заряда. По смыслу свертки, т.е. последовательного суммирования распространяющихся сферических фронтов (фундаментального решения), излучаемых через dt, нужно суммировать приходящие в точку нахождения пробного заряда фронты, у которых разница во времени между приходами составляет интервал dt’. Он отнюдь не равен dt. В самом деле, пусть первый фронт излучается в момент t = 0, когда расстояние между зарядами равно R. (Можно было бы рассмотреть и произвольный момент t, важно лишь, что R – это расстояние между зарядами в предшествующий момент времени – R(t’).) К пробному заряду этот фронт подойдет в момент t = 0 + R/c. Второй фронт излучается в момент времени t = dt, когда расстояние между зарядами равно , где – скорость действующего заряда в лабораторной системе. В точку нахождения пробного заряда второй фронт попадает в момент . Таким образом, промежуток времени между последовательными приходами фронтов в точку нахождения пробного заряда составляет:
Разлагая второй член правой части равенства в ряд Маклорена по dt с точностью до линейных членов и приводя подобные члены, получаем окончательно:
так что
Таким образом, потенциалы Лиенара-Вихерта и классическое решение получают совершенно ясную и прозрачную физическую трактовку:
(2.8)
Чтобы рассчитать потенциал равномерно движущегося заряда, нужно подставить в выражение для потенциала покоящегося заряда ϕ = q/R значение расстояния в предшествующий момент времени, вычисленное в соответствии с ПГ. Надо также учесть изменение времени последовательного прихода фронтов вследствие движения действующего заряда (в некотором смысле – эффект Доплера), опять-таки вычисленное с помощью ПГ. "Продольные" члены исчезают просто потому, что dt’, выраженное через , а не через , имеет вид
(в (2.4) достаточно положить ). Так что dt’, будучи подставленным в (2.8) с учетом (2.6), дает классическое выражение. Ведь члены в фигурных скобках, находящиеся в числителе и знаменателе и содержащие "продольные" члены, взаимно сокращаются. Таким образом, решение зависит только от отношения значения проекции к с, вычисленной в соответствии с ПГ. Но не зависит от проекции скорости движения действующего заряда на направление движения. Чисто "физически" это понятно. Для (скорость действующего заряда совпадает по направлению с вектором, соединяющим заряды) изменение расстояния за счет запаздывания компенсируется изменением скорости "прихода фронтов взаимодействия". То есть, насколько расстояние в момент взаимодействия больше соответствующего расстояния в предшествующий момент, на столько же и промежуток времени между их последовательными приходами в точку пробного заряда будет больше. В итоге сказывается только изменение времени за счет, так сказать, "поперечного эффекта Доплера".
Ясно, что потенциалы вычислены вполне правильно и физически понятны (в рамках выбранной модели). Из приведенного простого расчета видно, что поле равномерно движущегося заряда могло быть вычислено еще во времена Гюйгенса, т.е. когда не нужно было дожидаться ни создания теории относительности (или решения Лоренца-Пуанкаре), ни развития теории обобщенных функций. Достаточно было произвести лишь простое суммирование сферических фронтов в соответствии с принципом Гюйгенса и преобразованиями Галилея. При этом, конечно же, надо было бы учесть специфику модели, а именно – постоянство скорости распространения фронта относительно точки его испускания вне зависимости от состояния движения источника. Однако невыполнимость принципа относительности, отмеченная выше, означает, что выражение для силы взаимодействия зарядов, скорее всего, нуждается в корректировке.
Из проведенного краткого рассмотрения можно сделать следующие выводы:
Будучи квазиконтинуальной феноменологической моделью, система уравнений Максвелла неявно подразумевает наличие среды – эфира, относительно которого и движутся заряды (абсолютное движение) помимо их взаимного относительного движения.
Абсолютное движение, вероятно, может быть обнаружено при изучении собственно электромагнитных явлений (сила Лоренца). А относительное движение – оптических явлений (эффект Доплера). При этом постулат Эйнштейна о независимости абсолютной скорости света от состояния движения излучателя конечно же выполняется, так как отражает лишь специфику данной модели. Относительная же скорость как для излучателя, так и для приемника определяется в соответствии с преобразованиями Галилея, являющимися следствием классического определения скорости.
Электродинамика Максвелла (включая выражения для сил) не удовлетворяет принципу относительности как при описании собственно электрических и магнитных явлений, так и оптических. Что и констатировал Эйнштейн, эта цитата приведена в начале статьи. В качестве примера такой асимметрии он рассматривал систему, состоящую из магнита и проводника. В случае свободных зарядов описание также не удовлетворяет принципу относительности. Сила, с которой первый из этих зарядов действует на второй, – чисто электрическая, так как в первой системе магнитное поле равно нулю, а во второй – пробный заряд покоится. Сила, таким образом, в обеих системах центральна, но в первой – вычисляется просто в соответствии с законом Кулона и не содержит зависимости от скорости, а во второй – по формулам поля равномерно движущегося заряда, содержащим такую зависимость. При переходе же в систему, где оба заряда движутся, сила становится нецентральной и зависит от скоростей обоих зарядов относительно неподвижного наблюдателя в этой системе (т.е. "эфира"), а не от их относительной скорости, как следовало бы ожидать при выполнении принципа относительности.
В какой мере указанные противоречия были преодолены в рамках СТО будет выяснено в 3-й части данной работы.
ЛИТЕРАТУРА
Щитов Н. Относительность в электродинамике Максвелла. Часть 1.– Фотоника, 2011, № 4.
Владимиров В. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976.
Ландау Л., Лифшиц Е. Краткий курс теоретической физики. Книга 1. – М.: Наука, 1969.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. – М.: Мир, 1976.
Отзывы читателей
