eng
В статье продолжен разговор о том, что сама по себе электродинамика Максвелла или же преобразования Лоренца при правильной интерпретации не накладывают никаких ограничений на скорость движения заряда, движущегося с произвольной, в том числе с равной или большей с скоростью.
В 2011году под руководством Е.Б. Александрова, сотрудника ФТИ им. А.Ф.Иоффе, был проведен первый прямой эксперимент, подтверждающий справедливость второго постулата Эйнштейна о независимости скорости света от состояния движения его источника. В 2013 году отмечается столетний юбилей ОТО, а 8 лет назад прошел юбилей СТО.
Как уже упоминалось ранее [1,2], второй постулат является следствием самой электродинамики Максвелла как теории сплошной среды: "При этом постулат Эйнштейна о независимости абсолютной скорости света от состояния движения излучателя, конечно же, выполняется, так как отражает лишь специфику данной модели. Относительная же скорость как для излучателя, так и для приемника определяется в соответствии с преобразованиями Галилея, являющимися следствием классического определения скорости". Первый вывод автора лишь повторяет известный факт – см., например, у Р.Фейнмана [3]: "Одно из следствий уравнений Максвелла заключается в том, что если возмущения поля порождают свет, то эти электромагнитные волны распространяются во все стороны одинаково и с одинаковой скоростью. Другое следствие уравнений: если источник возмущений движется, то испускаемый свет все равно мчится сквозь пространство со скоростью c. Так же бывает со звуком: скорость звуковых волн тоже не зависит от движения источника".
В самом деле, в эксперименте измерялась скорость света, испущенного ультрарелятивистским пучком электронов относительно Земли, а не относительно пучка электронов. При этом точность измерений составляла 0,3%, т.е. порядка 900 км/с. Если учесть, что предполагаемая скорость дви-жения Земли относительно "абсолютной системы координат" составляет порядка 200 км/с, то и равенство измеренной скорости "табличной" не вызывает удивления. Так что этот эксперимент, как и, например, эксперимент Майкельсона (см. формулу (2.10) из [2]), никоим образом не опровергает галилееву формулу сложения скоростей, если электродинамика Максвелла верна. (Что эксперимент опроверг, так это "баллистическую гипотезу" Ритца, согласно которой скорость света равна с относительно источника излучения.) Более того, в [1] было показано, что сами по себе уравнения Максвелла являются лишь формулами преобразования полей при преобразованиях Галилея.
На самом деле, к моменту создания СТО не было никаких экспериментальных оснований для отказа от классических определений пространства-времени. (Заслуга Эйнштейна в том и состоит, что он впервые сумел понять фундаментальное значение утверждения о конечности и постоянстве скорости света вне зависимости от каких-либо экспериментов.) Предложенные и реализованные эксперименты, имевшие целью опровергнуть или доказать существование эфира, были неправильно поставлены и/или интерпретированы. Приведем только очень короткий пример – эффект абер-рации. Еще в 1727 году Брэдли использовал этот эффект для определения скорости света. При этом он пользовался формулой , основанной на галилеевой кинематике, и получил значение для c, равное 3,063 · 1010 см/с, что находится в очень хорошем согласии с современным рекомендованным значением c. СТО дает для угла аберрации несколько другую формулу, а именно: , но при правильном применении преобразований Галилея получается точно такая же формула. В самом деле, условие попадания света от звезды в телескоп в предположении, что движение Земли перпендикулярно лучу, состоит в , где – единичный вектор в направлении луча. Это означает, что продольная составляющая скорости света равна: , следовательно, тангенс угла действительно равен .
Таким образом, не постулаты Эйнштейна, но некоторые положения и формулы СТО являются предметом полемики. Например, Лоренцева формула сложения скоростей:
.
При она дает довольно странную зависимость.
Пока v не приблизится по модулю достаточно близко к V, v' остается практически постоянной, близкой к с. Затем, при небольшом изменении v, v' резко меняется от ≈ с до ≈ −с. Само по себе такое поведение достаточно странно, однако, с этим можно было бы мириться, если бы при V = c зависимость v'(v) имела бы ожидаемый вид ступеньки. На самом деле, при V = c, v = −c в выражении для v' имеем неопределенность вида: 0/0. Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, получаем . Таким образом, постулат Эйнштейна требует, чтобы v' = −c, а предельный переход в лоренцевой формуле сложения скоростей дает v = c. Можно, конечно, возразить, что переход к V = c некорректен, т.к. V в принципе не может равняться с. Но в таком случае вызывает удивление тот факт, что при V = c, v = c переход дает результат, совпадающий с постулатом Эйнштейна, и на это постоянно ссылаются при обосновании невозможности существования скорости, большей скорости света. Хотя относительная скорость фронтов взаимодействия, движущихся в противоположных направлениях, в соответствии с электродинамикой Максвелла равна 2с.
При этом, как уже отмечалось, преобразования Лоренца в электродинамике безусловно полезны, но носят технический характер. Применительно к механике их справедливость требует допол-нительного исследования и наличия некоторой модели. Например, знаменитое соотношение E = mc2 для энергии покоя является тривиальным результатом интегрирования уравнения движения, в котором сила линейно (в виде (1-β)) зависит от скорости относительного движения взаимодей-ствующих тел. Такая зависимость, в частности, имеется и в модели Ритца. Но это соотношение приобретает совершенно иной, фундаментальный смысл для модели, в которой Вселенная представляет собой множество "атомов" (в смысле древнегреческих философов-атомистов), движущихся с постоянными скоростями, равными по модулю с, по очень большим круговым орбитам в некоторой абсолютной системе координат – атомистическая гипотеза эфира. Однако в такой модели определение массы частицы, как и понятия самой частицы – локальной флуктуации функции распределения, далеко не очевидны.
Электродинамика Максвелла также основана на некоторой модели эфира. Но эта модель не дает адекватного описания не только электростатического взаимодействия, как признавал и сам Максвелл, но и процесса излучения, вопреки широко распространенному мнению. Исследователь творчества Максвелла, Ален Чалмерс, пишет [4]: "Второе, что нужно отметить, это то, что модель Максвелла не дает электромагнитной теории света, как указал Джоан Бромберг. В модели нет демонстрации того, как могут возникать поперечные электромагнитные волны. В самом деле, хотя модель Максвелла включает ток смещения, этот ток не создает магнитное поле так, чтобы возникали электромагнитные волны. ...Утверждение Максвелла о том, что "чем бы ни было электричество, и что бы мы ни понимали под движением электричества, явление, которое мы назвали электрическим смещением – есть движение электричества в том же самом смысле, что и прохождение определенного количества электричества через провод – есть движение электричества" оказалось полностью неверным. Таким образом, чрезвычайная сложность модели и невозможность с ее помощью описать все имеющиеся экспериментальные результаты, по-видимому, заставила отказаться Максвелла от "модельной трактовки адекватного объяснения" в пользу чисто математической.
Неспособность Максвелла создать адекватную модель, возможно, объясняется его общим неприятием гипотезы дискретного строения материи (несмотря на то, что его эфир вполне дискре-тен, или, точнее, имеет структуру). Вернемся опять к цитированию работы [4]: "На самом деле анализ статей Максвелла, очевидно, доказывает его общую оппозицию теориям атомных частиц. Например, в эссе, озаглавленном "Атом", он начинает с замечания о том, что "Маленькое твердое тело, выдуманное Лукрецием и принятое Ньютоном, было изобретено для целей объяснения неизменности свойств тел. Но оно не способно объяснить колебаний молекул, регистрируемых спектроскопом". Одновременно, Р.Андерсон [6] отмечает "чисто математическую подоплеку" неприятия Максвеллом атомистического подхода: "Когда Максвелл впервые выпустил работу о представленном Фарадеем подходе к рассмотрению явлений в математической форме, он заметил в Предисловии, что подход Фарадея, основанный на взаимодействии через среду и силовых линиях, похож на методы, в которых "мы исходим из целого и приходим к частному с помощью анализа". С другой стороны, "обычные математические методы" начинают с частностей и строят целое с помощью синтеза. Они ассоциируются с математиками, рассматривающими центры силы, действующей на расстоянии. ...В "наиболее естественном" подходе математики рассматривают вселенную как созданную из частей и начинают с одной частицы, рассматривая ее взаимоотношение с остальным. Для Максвелла, однако, это включает процесс абстракции, предположения другого способа рассмотрения: "Чтобы представить себе частицу, однако, требуется процесс абстракции, так как все наши представления связаны с протяженными телами, так что идея целого в нашем сознании в данный момент является почти столь же первичной, что и индивидуальной вещи. Поэтому может существовать математический метод, при котором мы исходим из целого, двигаясь к частному, а не от частного к целому". Таким образом, даже приняв математическую трактовку адекватного объяснения, Максвелл находит общефилософские доводы, облеченные в сугубо математическую форму, в пользу отказа от гипотез взаимодействия на расстоянии.
В работе [7] Сальво Д’Агостиньо описывает взаимоотношение двух подходов в электродина-мике: "Во второй половине девятнадцатого века две великие теории науки об электричестве – электромагнетизм Джеймса Кларка Максвелла и Генриха Герца исключили дискретность частиц из числа фундаментальных концепций. Обе теории выдвигали на первый план непрерывность и локальность вместо тех особенностей дискретности и действия на расстоянии, которые были характерны для "молекулярной" электродинамики Вильгельма Вебера и Германа фон Гельмгольца. Из-за этих общих особенностей теорий Максвелла и Герца кажется подходящим назвать их чисто полевыми теориями". Генрих Герц последовательно исключал концепцию тока конвекции из своей электродинамики. Можно сказать, что Герц хотел исключить из своей континуальной полевой теории не только конвективную концепцию тока, но и дискретность любых видов частиц. На самом деле он отвергал атомистический подход в своем проекте придания новой фундаментальной формы механике. Как он указывал в 1894 в своих "Принципах Механики", "В некоторых случаях мы имеем определенные указания относительно размеров этих атомов и их движения. Но форма атомов, их соединение, их движение в большинстве случаев полностью неизвестны нам; их число во всех случаях неизмеримо велико". Таким образом, атомистическая концепция "не является достаточно разумной, специально подходящей, чтобы служить нам известным и надежным основанием для математических теорий".
"Как хорошо известно, ситуация быстро менялась в течение 1890-х и закончилась триумфом атомизма. Новые теории вскрыли плодотворность корпускулярного подхода к электричеству и всей физике в целом, как показали явления разряда в разреженных газах и спектральный анализ. Открытие электрона явилось одним из главных результатов" [5]. В [6] Д’Агостиньо пишет: "С самого начала своей научной жизни в своей докторской диссертации 1875 года Лоренц выразил свое убеждение в том, что в будущем "когда уравнения движения электричества... будут записаны в форме, которая будет более близка к реальности и подвергнута многочисленным экспериментальным проверкам, будет возможно вывести (уравнения Максвелла) прямо из рассмотрения этих молекулярных сил". ...В 1909 Лоренц опубликовал свою теорию электронов в книге, которая обобщила его исследования по электродинамике и может рассматриваться как "главный труд" классической электродинамики. Хотя он декларировал, что его теория была продуктом великих теорий электричества Майкла Фарадея и Максвелла, он также подчеркнул и различия между ними. ...В теории Лоренца аппарат уравнений в частных производных используется наравне с ньютоновыми уравнениями движения в обыкновенных производных, и эта комбинация дала большую предсказательную силу всей математической структуре, что очевидно, например, при вычислении средних. ...Лоренц также объяснял свое приятие методов молекулярных гипотез на базе новой роли математики в физике. Как он писал, "таким образом, математические соотношения заняли превосходящее место". Включением в Евклидову систему координат как уравнений в частных, так и уравнений в полных производных, математическая структура отразила сложную физическую структуру, суперпозицию сил и полей".
И далее [6]: "Тем не менее, историк не может не отметить, что эти достижения явились плодом мутаций в теоретическом и экспериментальном контексте, а не результатом последовательного развития. Как показано выше, мы не можем найти в теории Лоренца ничего, что может быть идентифицировано с током смещения Максвелла и Пойнтинговым потоком Герца. Напротив, Лоренцев конвективный ток и Лоренцева поляризация были чужды теориям Максвелла и Герца. Другими словами, концепции Максвелла не могут быть обобщены так, чтобы включать концепции Лоренца и, аналогично, силы Герца как поля в вакууме чужды теории Лоренца. Следовательно, концептуальная структура теории Лоренца не представляет обобщения теорий Максвелла и Герца". Наконец, общий вывод таков: "Хотя теоретическое обобщение в смысле постоянного развития концепций часто представляется фундаментальным атрибутом прогресса теории, эта форма обобщения лишь иногда представляет процесс, характеризующий динамику развития теории. ...В отличие от мутаций физических концепций имеется впечатляющее постоянство в математической структуре физики, т.е. форме, в которой физические законы представлены математическими уравнениями. ...Изучая форму этих уравнений, осознаешь, что математический формализм представляет высокий уровень непрерывности в ходе изменения физических концепций. ...В противоположность изменению концептуальных структур в результате эволюции культуры математика может таким образом рассматриваться как один из "артефактов", которые, согласно Юргену Ренну, передаются от поколения к поколению для обеспечения непрерывности развития науки". Следует отметить, что Эйнштейн очень высоко ценил именно математический, дедуктивный аспект познания мира. Процитируем [7]: "Я убежден, что чисто математические конструкции позволяют найти понятия и связывающие их законы, которые дают ключ к явлениям природы. Опыт, разумеется, может руководить нашим выбором нужных математических понятий, но он практически не может быть источником, из которого они вытекают. В известном смысле я считаю истиной, что чистая мысль способна ухватывать реальное, как об этом мечтали древние".
Тем не менее, без совершенствования "концептуальных структур", т.е. без исследования некоторых моделей механизма взаимодействия прогресс в развитии физики вряд ли возможен. Чалмерс, приводит весьма показательное воспоминание [4]: "Я помню, как меня спросили на школьной площадке: "что такое электричество?" Я гордо и самоуверенно ответил: "электричество – это накопление и поток электронов". "Что такое электроны?" – был следующий вопрос моего инквизитора. "Отрицательно заряженные частицы", – ответил я. "Заряженные чем?" был торжествующий ответ моего собеседника, который знал, что поймал меня, и уже не дожидался ответа". Следует признать, что мы и сейчас знаем не больше его о том, что же такое собственно электричество, несмотря на триумф классической электродинамики, достигнутый в работах Лоренца. В этой связи представляется актуальным ответить на следующие два вопроса: допускает ли электродинамика Максвелла какую-либо модельную интерпретацию, отличную от его собственной, и обладает ли подобная интерпретация какой-либо эвристической ценностью. Дополнительным, но не менее важным вопросом является вопрос о соответствии выводов СТО этой модельной интерпретации.
Опуская описание эволюции взглядов самого Эйнштейна, приведем лишь короткую цитату из воспоминаний В.Гейзенберга [8]. Он приводит его диалог с Эйнштейном о наблюдаемых величинах: " Но неужели вы всерьез думаете, – возразил Эйнштейн, – что в физическую теорию можно включать лишь наблюдаемые величины? – А разве не вы сами, – спросил я в изумлении, – положили именно эту идею в основу своей теории относительности? Вы ведь подчеркивали, что нельзя говорить об абсолютном времени потому, что это абсолютное время невозможно наблюдать: для определения времени значимы лишь показания часов, будь то в подвижной или в покоящейся системе отсчета. – Возможно, я и пользовался философией этого рода, – ответил Эйнштейн, – но она тем не менее чушь. Или, сказал бы я осторожнее, помнить о том, что мы действительно наблюдаем, а что нет, имеет, возможно, некоторую эвристическую ценность. Но с принципиальной точки зрения желание строить теорию только на наблюдаемых величинах совершенно нелепо".
Преобразования Лоренца
Поясним прежде всего, что означает утверждение о "техническом характере" преобразований Лоренца (ПЛ) в электродинамике Максвелла, использованное в части 1 настоящей статьи [1]. Выражения для полей равномерно движущегося заряда могут быть получены путем прямого решения волновых уравнений для потенциалов [2], которое доказывает галилей-инвариантность этих выражений. Однако использование ПЛ существенно проще прямого решения, в котором используется аппарат преобразования Фурье обобщенных функций. Но решение можно получить и альтернативным способом, частично раскрывающим физический смысл ПЛ.
Предположение о сохранении потенциального характера силы [1] позволяет находить решения, без волновых уравнений для потенциалов равномерно движущегося заряда, а пользуясь уже известными решениями. В самом деле, из него (предположения) и 2-го из естественных определений (1.8) из [1]: − следует (по формуле 2-го векторного произведения), что:
Воспользовавшись разложением вектора в виде суммы его проекций на единичный вектор и перпендикулярный ему , получим:
Взяв дивергенцию от обеих частей этого равенства, получим уравнение:
(1.1)
Характерно, что аналогичный результат получится, если в волновом уравнении для скалярного потенциала предположить "галилееву" зависимость от времени . Тогда:
так что волновое уравнение переходит в: (1.2)
Как легко видеть,действительно равен.
Очевидно, что, преобразовав квадратичные формы, стоящие в правых частях (1.1) и (1.2) к каноническому виду, мы получим для (или ) уравнение Пуассона, решение которого известно. При этом аргумент решения – не , а , что вытекает из требования галилей-инвариантности и прямо постулировалось при выводе (1.2), хотя в явном виде в (1.1) и не использовалось.
Преобразование данных квадратичных форм к каноническому виду известно, и наиболее простой способ состоит в следующем. Повернем систему координат вокруг начала координат так, чтобы одна из осей, например Х, совпала с направлением скорости. Тогда . При этом слагаемое перейдет в , так что уравнение (1.2) будет выглядеть так:
(1.3)
Если теперь изменить масштаб по оси Х – растянуть ее в раз, то тем самым приведение к диагональному виду будет закончено. Множитель появляется из-за необходимости нормировки базиса [9], так как – есть собственное значение матриц квадратичных форм (1.1) и (1.2) (другие собственные значения равны 1). Квадратная матрица, приведенная к диагональному виду дополнительным преобразованием , приводится к каноническому виду: , где = 1,−1 или 0, если соответствующее собственное значение положительно, отрицательно или равно 0. Таким образом, это дополнительное преобразование не накладывает никаких ограничений на , надо только помнить, что под радикалом стоит модуль, а при и . Итак:
(1.4)
( появляется потому, что аргумент равен ,
a не , как было отмечено выше). Разумеется, такое изменение масштаба возможно при .
Заметим, что изменения масштаба времени не требуется, хотя для приведения обобщенного даламбертиана [2] к каноническому виду такое изменение необходимо из-за наличия члена .
Фундаментальное решение оператора Лапласа хорошо известно, поэтому
(1.5)
т.е. результат мог быть получен сразу, без формальной процедуры решения волнового уравнения. Для получим и далее, используя определения полей через потенциалы, получим классические выражения для полей равномерно движущегося заряда.
Возвращаясь к уравнению (1.3), вспомним, что оно само по себе не накладывает никаких ограничений на . На самом деле, при решения существуют и находятся очень легко. При уравнение (1.3) вырождается в двумерное уравнение Пуассона, решение которого
(1.6)
представляет собой плоский фронт, перемещающийся вдоль Х со скоростью с и логарифмически стремящийся к −∞ при y, z → ∞ и к +∞ при y, z → 0. Поля же при этом тождественно равны 0 за исключением плоскости x = c t, т.к. . Тот же результат получится, если просто положить в решении (1.5) , т.к. при (в числителе же стоит ). Таким образом, решение (1.5) непрерывно при β=1. (Можно также убедиться в правильности решения,
исходя из определений: но для β=1.)
При уравнение (1.3) становится нормально-гиперболическим, т.е. формально совпадает с двумерным волновым уравнением с заменой t на х, а с−2 на :
Решение такого уравнения так же хорошо известно:
(1.7)
Сравнивая (1.7) с (1.5), убеждаемся в их почти полном совпадении с точностью до требования неотрицательности , стоящего под радикалом (в противном случае -функция обращается в 0), и появления 2 в числителе (1.7), обусловленной тем, что поле теперь существует лишь в полупространстве, точнее в конусе с вершиной в месте нахождения заряда, перемещающейся со скоростью v вдоль оси Х, и углом между образующей и осью Х, равным . При поле занимает почти все полупространство впереди движущегося заряда, а при сосредотачивается в луче вдоль Х. Напряженности полей и при этом содержат как сингулярные слагаемые (), связанные с границей конуса, так и регулярные внутри конуса, совпадающие с (1.5) с точностью до изменения знака и множителя 2. Закончим на этом анализ решения (1.7). (Обсуждение эффекта Вавилова-Черенкова и его связь с полученным решением выходит за рамки данной работы.)
Использованная выше замена переменных еще не является ПЛ в полном смысле – время не изменялось. Если же изменить время в соответствии с ПЛ и повторить выкладку (1.4) из [1], но уже с ПЛ, а не ПГ, получим неожиданный результат. Применение ПЛ в общем виде (без специальной ориентации осей координат) к системе УМ дает совершенно другую, крайне сложную для восприятия систему, так что говорить об инвариантности УМ относительно ПЛ в общем случае не приходится. Не буду утомлять читателя приведением точных выражений – выкладка сама по себе проста, но громоздка и утомительна, констатирую лишь факт неинвариантности УМ относительно ПЛ в общем случае. (Желающие могут убедиться в этом сами.)
С другой стороны, при специальном выборе базиса, т.е. ориентации его осей относительно скорости движения новой системы координат, УМ оказываются лоренц-инвариантными. В чем же здесь дело? Как было показано в части 1, УМ галилей-инвариантны в форме (1.4) из [1], т.е. в виде, где в правых частях уравнений 1 и 3 стоят новые поля: и , отвечающие "естественным определениям", а не и , как хотелось бы для "полной инвариантности". Однако, если ввести новые поля в соответствии с этими определениями, т.е.:
так что
(1.8)
,
и разрешить их относительно и :
так что
и
(в последних равенствах мы воспользовались формулой двойного векторного произведения), то видно, что при специальном выборе базиса возможно введение новых, симметризованных относительно определений полей, которые обеспечат "полную инвариантность". (В общем случае невозможно избавиться от продольных членов – и .) В самом деле, если скорость имеет лишь одну составляющую, например , то:
так что:
Симметризация состоит в том, что естественные определения (1.8) заменяются "взвешенными" на :
(1.9)
В самом деле, из (1.9) следует, что:
Легко видеть, что "штрихованные" и "не штрихованные" компоненты полей действительно выражаются друг через друга симметричным относительно образом.
Однако, само по себе введение новых, "симметризованных" определений полей еще не решает задачу получения преобразований, обеспечивающих "полную инвариантность", а только дает вид полей при этих преобразованиях в случае специального выбора базиса. Причем этот вид определяется, исходя из "естественных определений", полученных при применении ПГ. Это является косвенным доводом в пользу единственности искомых преобразований в силу того, что УМ в форме (1.4) из [1], инвариантные относительно ПГ, единственно верны.
Получение самих преобразований в случае знания выражений для преобразованных полей не представляет труда. В самом деле, используя эти выражения, например для Х-й компоненты электрического поля, получим, что 1-е уравнение системы УМ должно выглядеть так (свободное поле, т.е. ):
(1.10)
Нетрудно заметить, что, если ввести новые переменные – , такие, что и , то в силу уравнение останется неизменным - просто сократится . Простейшим способом такого введения были бы равенства:
Тогда . Но, при введении таких новых, "несимметричных" переменных при использовании "симметризованных определений" полей в уравнениях для дивергенций появятся лишние, ничем не скомпенсированные члены. Например, в уравнении для дивергенции электрического поля появится Х-я компонента ротора магнитного и наоборот. Общая идея симметризации подсказывает, что и новые переменные должны быть симметричны относительно и :
(1.11)
так что При этом все уравнения системы УМ окажутся перемешаны в отличие от преобразованной с помощью ПГ системы, когда, по крайней мере, уравнения для дивергенций остаются без изменений. Тем не менее, это ни в коей мере не мешает приведению полученной системы к каноническому, "инвариантному" виду. Вспомним, что в [1] мы уже использовали этот способ. Аналогично и в этом случае, вычтя из преобразованного уравнения для дивергенции электрического поля
умноженное на уравнение (1.10), получим . С помощью схожих преобразований и все остальные уравнения приводятся к каноническому виду. Впрочем, конгруэнтное преобразование, использованное Минковским [1], позволяет не думать об этих несложных преобразованиях. Искомые выражения для полей в движущихся системах получаются при совместном применении конгруэнтного преобразования УМ и координат с помощью ПЛ при специальной ориентации пространственных осей координат, чего в случае применения ПГ, очевидно, недостаточно – нужно решать систему уравнений.
В случае наличия токов и свободных зарядов одной замены переменных уже недостаточно для приведения УМ к каноническому виду, как было при применении ПГ. Описанная выше выкладка дает в этом случае: где , и, аналогично: Y-я и Z-я компоненты тока остаются без изменений. Таким образом, в случае ПЛ, помимо замены переменных необходимо еще и требование изменения тока и плотности заряда для обеспечения "полной инвариантности" УМ. Это на самом деле не сильно меняет ситуацию, но лишний раз подчеркивает "технический" характер ПЛ как удобных формул замен переменных с точки зрения математического аппарата электродинамики Максвелла. С точки зрения СТО физический смысл ПЛ – принципиально другой и подробно объяснен в многочисленных учебниках и оригинальных работах, начиная с классической статьи Эйнштейна.
Уравнения движения в Электродинамике Максвелла. Динамика СТО
Вернемся теперь к последнему, заключительному замечанию части 2 настоящей статьи [2]. Неинвариантность выражения для силы взаимодействия движущихся зарядов относительно ПГ или ПЛ является следствием выражения для силы и характера модели. Заметим, что сами по себе УМ не дают ответа на вопрос о силе, действующей на произвольно движущийся пробный заряд. Они лишь позволяют вычислять поля при заданных распределениях плотностей зарядов и токов, либо же определять распределения этих плотностей при заданных полях. При этом предполагается, что сами поля могут быть экспериментально определены по их воздействию на покоящийся единичный заряд или же покоящийся "магнитный заряд". Сила Лоренца вводится в теорию аксиоматически, дополняя и завершая, таким образом, аксиоматическое построение электродинамики. С другой стороны, формула Лоренца является следствием применения лагранжева формализма в случае, когда функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле имеет вид [10]:
Уравнения Лагранжа − − приводят в этом случае к выражению
т.е. к формуле Лоренца при классическом определении полей через потенциалы. Сила взаимодействия движущихся зарядов нецентральна в отличие от силы взаимодействия покоящегося действующего и движущегося пробного зарядов.
Однако формула Лоренца противоречит бинарности взаимодействия, а значит, принципу относительности в строгом смысле, т.е. зависимости силы взаимодействия лишь от относительных расстояний и скоростей. В самом деле, так как скорости – как пробного заряда, так и зарядов, создающих магнитное поле, определены относительно покоящегося в лабораторной системе наблюдателя, то они не являются "взаимными" относительными скоростями этих зарядов. Между тем задача о силе взаимодействия зарядов, движущихся с одинаковыми скоростями, рассматривается практически во всех учебниках и сопровождается комментариями, якобы доказывающими справедливость СТО. Например, в [11, стр. 279-280] написано: "Применим найденные формулы к вычислению силы взаимодействия двух зарядов е1 и е2, движущихся с одинаковой (курсив – Н.Щитов) скоростью v относительно лабораторной системы отсчета.
До появления теории относительности полагали, что, наблюдая взаимодействие между движущимися зарядами, можно определить их абсолютную скорость по отношению к эфиру. Однако попытки измерений не привели ни к каким положительным результатам. ...В свете теории относительности ясна ошибка этих рассуждений: в формулы для силы, измеренной в лабораторной системе координат, входит лишь общая относительная скорость (курсив – Н.Щитов) обоих зарядов". Мало того, что ссылка на СТО здесь абсолютно не оправдана, так как формулы получены без применения аппарата СТО, так еще и фактически подтверждается существование абсолютной системы координат. В самом деле, скорость v не является относительной скоростью зарядов, которые движутся с одинаковыми скоростями, так что их относительная скорость равна нулю. Значит, "общая относительная скорость" – есть скорость относительно абсолютной системы или эфира .
При этом принцип относительности очевидно нарушается при формальном преобразовании alias: если наблюдатель движется относительно покоящихся (например, удерживаемых в равновесии связью) в лабораторной системе зарядов со скоростью – , то сила, вычисленная в соответствии с (3.1), изменяется, т.е. равновесие нарушается. Например, при и . Таким образом, если пользоваться формулой Лоренца, равновесие системы зарядов зависит от того, движется ли относительно них наблюдатель или нет, что находится в явном противоречии не только с принципом относительности, но и здравым смыслом. В случае преобразования alibi, когда не наблюдатель, но сами заряды начинают двигаться относительно эфира, изменение силы вполне возможно.
С другой стороны, принцип относительности в электродинамике Максвелла очевидно выполняется, если пользоваться правильной процедурой расчета полей, описанной в [2]. Другими словами, преобразование alias в случае системы зарядов, покоящихся относительно эфира, приводит к переходу к обобщенному даламбертиану, и решение остается чисто кулоновским [2]. В то же время, при применении этой процедуры в случае преобразования alibi, т.е. для зарядов, движущихся с одинаковыми скоростями относительно эфира, принцип относительности почти выполняется. В самом деле, изменение промежутка времени между последовательными приходами сферических фронтов в точку нахождения пробного заряда в данном случае отсутствует (см. формулу (2.4) из [2] и комментарии к ней). Расстояние между зарядами не изменяется в силу равенства нулю их относительной скорости. Так что скалярный потенциал, вычисленный в точке нахождения пробного заряда [2], не изменяется и остается кулоновским. Векторный потенциал, хотя и не равный нулю в силу движения действующего заряда относительно эфира, не содержит времени в явном виде в силу неизменности расстояния. Таким образом, электрическое поле равно просто градиенту скалярного потенциала (с обратным знаком), т.е. не отличается от поля в случае, когда заряды покоятся относительно эфира. Магнитное поле в точке нахождения пробного заряда не равно нулю в силу наличия векторного потенциала, но только при наличии составляющей скорости, перпендикулярной прямой, соединяющей заряды в силу равенства И в этом случае суммарная сила (сила Лоренца) равна по модулю Но это выражение описывает не что иное, как известное явление притяжения токов, текущих в одном направлении! В случае разнонаправленных скоростей получаем (с небольшими изменениями из-за изменения промежутка времени) отталкивание. Так что в виде контраргумента утверждению из [11] можно сказать, что наблюдение взаимодействия движущихся зарядов подтверждает наличие эфира, неявно присутствующее в электродинамике Максвелла, и позволяет измерить их абсолютные скорости. Это же означает, что теоретически возможно отличить преобразования alias от alibi, что фактически отрицается в СТО.
Если же относительная скорость зарядов не равна нулю, то, опять-таки, следует различать случаи покоя каждого из зарядов относительно эфира. Применение "правильной процедуры", подразумевающей вычисление потенциалов в точке нахождения пробного заряда, позволяет учесть движение пробного заряда при покоящемся (относительно эфира) действующем с помощью формулы (2.4) из [2]: без какого-либо изменения выражения для импульса. Как легко видеть, в данном случае уже появляется зависимость от продольной составляющей скорости: если пробный заряд удаляется от действующего, то промежуток времени между приходами фронтов увеличивается, а значит, сила должна уменьшаться, и наоборот. Таким образом, учет конечности скорости взаимодействия в случае справедливости электродинамики Максвелла не требует изменения выражения для импульса, т.е. введения релятивистской динамики. В случае покоящегося относительно эфира пробного заряда при движущемся действующем ускорение рассчитывается в соответствии с выражениями для полей равномерно движущегося заряда.
Но и при использовании релятивистской динамики так же получаем отличие случая движущегося действующего заряда при покоящемся пробном от противоположного (относительная скорость зарядов – ), т.е. невыполнение принципа относительности. Обозначим скорость и время в системе действующего заряда не штрихованными буквами, а в системе пробного – штрихованными. Движение происходит по прямой, для определенности – по оси Х. В системе действующего заряда уравнение движения пробного имеет вид:
Напротив, в системе пробного заряда уравнение движения рассчитывается в соответствии с выражением для электрического поля равномерно движущегося заряда:
Отличие ускорений в разных системах (их отношение) составляет, как видно:
Можно, конечно, говорить о том, что в соответствии с релятивистской динамикой ускорения в разных системах не совпадают, но расчет показывает, что учет этого обстоятельства не приводит к выполнению принципа относительности. В самом деле [4]
т.к.
Более того, релятивистская динамика требует уменьшения ускорения при нарастании скорости вне зависимости от того, приближается ли пробный заряд к действующему или удаляется, тогда как "правильная процедура" очевидно дает разные результаты в этих двух случаях. Можно было бы привести соответствующие формулы (читатель сам их может вывести без труда), если бы не сделанная выше оговорка о справедливости электродинамики Максвелла (включая выражения для сил) вообще.
Данная оговорка проистекает из примера, приведенного в заключительном замечании [2], а именно центральном характере силы в системе, в которой пробный заряд покоится относительно эфира, а действующий – движется. Из общих соображений следует, что центральность силы в этом случае может сохраняться только при отсутствии поперечной (прямой, соединяющей заряды) составляющей скорости. А между тем, даже "правильная процедура", а в данном случае она сводится просто к вычислению полей равномерно движущегося заряда, дает только центральную составляющую в силу формулы Лоренца.
В случае использования релятивистской динамики выполнение принципа относительности (в определенном ниже смысле) возможно только при изменении выражения для силы. В самом деле, градиент скалярного потенциала уже содержит нецентральную составляющую:
(2.2)
При этом, если скорости пробного и действующего зарядов совпадают, то (2.2) уже соответствует формуле Лоренца. Если использовать релятивистское выражение для скорости изменения импульса:
(2.3)
то ускорение не будет зависеть от именно в случае, если сила рассчитывается согласно (2.2), скорости зарядов совпадают и , когда . Тогда при и, следовательно, получаем тождество:
т.к. .
(Здесь вычислено согласно (2.3), а – (2.2)). Только в этом случае принцип относительности выполняется в том смысле, что скорость изменения импульса пробного заряда, покоящегося относительно действующего, не зависит от их движения относительно эфира (наблюдателя), если это движение перпендикулярно прямой, соединяющей заряды. Во всех других случаях принцип относительности даже в этом смысле не выполняется. Таким образом, мы получили отсутствие притяжения/отталкивания токов при применении аппарата СТО, но с изменением выражения для силы.
В общем случае , если пользоваться формулой Лоренца, при переходе от одной системы к другой (вне зависимости от того, какими преобразованиями пользоваться – ПГ или ПЛ) сила изменяется, становясь центральной только в системе, где один из зарядов покоится. Ускорение также изменяется вне зависимости от того, как оно рассчитано – в соответствии с ПГ или ПЛ:
(2.4)
Это выражение получено при использовании тождеств и Характерно, что только при таком вычислении изменения импульса уравнение движения является инвариантным относительно ПЛ. Инвариантность при этом понимается как сохранение формы выражения:
т.е. формулы Лоренца в правой части. Сила же и ускорение – реально измеримые в эксперименте величины – изменяются. Если же просто вычислить ускорение в соответствии с ПЛ для скорости и времени, то уравнение движения становится неинвариантным относительно ПЛ. Понятно, что для компенсации изменения силы левая часть должна содержать член, пропорциональный напряженности поля (второе тождество), что возможно только при использовании зависимости изменения энергии от поля. Итак, изменение выражений для импульса и энергии дает только половинчатый эффект, так как, сохраняя форму уравнения движения относительно ПЛ, все же не устраняет нарушения принципа относительности.
И все же Эйнштейн в главном прав! А именно в утверждении о фундаментальной роли постоянной (предельной) скорости света. Однако относительно чего эта скорость измеряется?! В случае принятия в том или ином виде гипотезы абсолютного пространства (эфира) такой вопрос не возникает. При этом и процессы в системе, движущейся относительно эфира, должны замедляться, и ускорение должно стремиться к нулю (или масса возрастать до бесконечности) при стремлении скорости движения к скорости света. По мнению автора, для построения "единой теории поля" помимо первого постулата Эйнштейну оставалось сделать лишь один маленький шаг. И главная загадка состоит в том, почему именно Эйнштейн, предложивший гипотезу квантов, убежденный сторонник атомистической точки зрения, его не сделал? Но это уже тема другой статьи.
ЛИТЕРАТУРА
Щитов Н. Относительность в электродинамике Максвелла. Часть 1.– Фотоника, 2011, № 4.
Щитов Н. Относительность в электродинамике Максвелла. Часть 2.– Фотоника, 2012, № 1.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.‒ М.: Мир, 1976.
Chalmers A. Maxwell, Mechanism, and the Nature of Electricity. – Phys. perspect. 3, p. 425–438. – Basel:Birkha¨user Verlag, 2001.
Anderson R. Exploring the mathematical and interpretative strategies of Maxwell’s Treatise on Elec-tricity and Magnetism. – Endeavour, 2001, v. 25(4).
Salvo D’Agostino. On the Difficulties of the Transition from Maxwell’s and Hertz’s Pure-Field Theo-ries to Lorentz’s Electron. – Phys. perspect. v.2, p. 398–410. – Basel:Birkha¨user Verlag, 2000.
Einstein A. Comment je vois le mond. – Paris: Flammarion, 1934.
Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. – М.: Наука, 1989.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1974.
Ландау Л., Лифшиц Е. Краткий курс теоретической физики. Книга 1. – М.: Наука, 1969.
Левич В. Курс теоретической физики. Том 1. – М.: Наука, 1969.
Cornille P. Review of the application of Newton’s third law in physics.‒ Progress in energy and combustion science, 1999, v.25, p.161-210.
Как уже упоминалось ранее [1,2], второй постулат является следствием самой электродинамики Максвелла как теории сплошной среды: "При этом постулат Эйнштейна о независимости абсолютной скорости света от состояния движения излучателя, конечно же, выполняется, так как отражает лишь специфику данной модели. Относительная же скорость как для излучателя, так и для приемника определяется в соответствии с преобразованиями Галилея, являющимися следствием классического определения скорости". Первый вывод автора лишь повторяет известный факт – см., например, у Р.Фейнмана [3]: "Одно из следствий уравнений Максвелла заключается в том, что если возмущения поля порождают свет, то эти электромагнитные волны распространяются во все стороны одинаково и с одинаковой скоростью. Другое следствие уравнений: если источник возмущений движется, то испускаемый свет все равно мчится сквозь пространство со скоростью c. Так же бывает со звуком: скорость звуковых волн тоже не зависит от движения источника".
В самом деле, в эксперименте измерялась скорость света, испущенного ультрарелятивистским пучком электронов относительно Земли, а не относительно пучка электронов. При этом точность измерений составляла 0,3%, т.е. порядка 900 км/с. Если учесть, что предполагаемая скорость дви-жения Земли относительно "абсолютной системы координат" составляет порядка 200 км/с, то и равенство измеренной скорости "табличной" не вызывает удивления. Так что этот эксперимент, как и, например, эксперимент Майкельсона (см. формулу (2.10) из [2]), никоим образом не опровергает галилееву формулу сложения скоростей, если электродинамика Максвелла верна. (Что эксперимент опроверг, так это "баллистическую гипотезу" Ритца, согласно которой скорость света равна с относительно источника излучения.) Более того, в [1] было показано, что сами по себе уравнения Максвелла являются лишь формулами преобразования полей при преобразованиях Галилея.
На самом деле, к моменту создания СТО не было никаких экспериментальных оснований для отказа от классических определений пространства-времени. (Заслуга Эйнштейна в том и состоит, что он впервые сумел понять фундаментальное значение утверждения о конечности и постоянстве скорости света вне зависимости от каких-либо экспериментов.) Предложенные и реализованные эксперименты, имевшие целью опровергнуть или доказать существование эфира, были неправильно поставлены и/или интерпретированы. Приведем только очень короткий пример – эффект абер-рации. Еще в 1727 году Брэдли использовал этот эффект для определения скорости света. При этом он пользовался формулой , основанной на галилеевой кинематике, и получил значение для c, равное 3,063 · 1010 см/с, что находится в очень хорошем согласии с современным рекомендованным значением c. СТО дает для угла аберрации несколько другую формулу, а именно: , но при правильном применении преобразований Галилея получается точно такая же формула. В самом деле, условие попадания света от звезды в телескоп в предположении, что движение Земли перпендикулярно лучу, состоит в , где – единичный вектор в направлении луча. Это означает, что продольная составляющая скорости света равна: , следовательно, тангенс угла действительно равен .
Таким образом, не постулаты Эйнштейна, но некоторые положения и формулы СТО являются предметом полемики. Например, Лоренцева формула сложения скоростей:
.
При она дает довольно странную зависимость.
Пока v не приблизится по модулю достаточно близко к V, v' остается практически постоянной, близкой к с. Затем, при небольшом изменении v, v' резко меняется от ≈ с до ≈ −с. Само по себе такое поведение достаточно странно, однако, с этим можно было бы мириться, если бы при V = c зависимость v'(v) имела бы ожидаемый вид ступеньки. На самом деле, при V = c, v = −c в выражении для v' имеем неопределенность вида: 0/0. Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, получаем . Таким образом, постулат Эйнштейна требует, чтобы v' = −c, а предельный переход в лоренцевой формуле сложения скоростей дает v = c. Можно, конечно, возразить, что переход к V = c некорректен, т.к. V в принципе не может равняться с. Но в таком случае вызывает удивление тот факт, что при V = c, v = c переход дает результат, совпадающий с постулатом Эйнштейна, и на это постоянно ссылаются при обосновании невозможности существования скорости, большей скорости света. Хотя относительная скорость фронтов взаимодействия, движущихся в противоположных направлениях, в соответствии с электродинамикой Максвелла равна 2с.
При этом, как уже отмечалось, преобразования Лоренца в электродинамике безусловно полезны, но носят технический характер. Применительно к механике их справедливость требует допол-нительного исследования и наличия некоторой модели. Например, знаменитое соотношение E = mc2 для энергии покоя является тривиальным результатом интегрирования уравнения движения, в котором сила линейно (в виде (1-β)) зависит от скорости относительного движения взаимодей-ствующих тел. Такая зависимость, в частности, имеется и в модели Ритца. Но это соотношение приобретает совершенно иной, фундаментальный смысл для модели, в которой Вселенная представляет собой множество "атомов" (в смысле древнегреческих философов-атомистов), движущихся с постоянными скоростями, равными по модулю с, по очень большим круговым орбитам в некоторой абсолютной системе координат – атомистическая гипотеза эфира. Однако в такой модели определение массы частицы, как и понятия самой частицы – локальной флуктуации функции распределения, далеко не очевидны.
Электродинамика Максвелла также основана на некоторой модели эфира. Но эта модель не дает адекватного описания не только электростатического взаимодействия, как признавал и сам Максвелл, но и процесса излучения, вопреки широко распространенному мнению. Исследователь творчества Максвелла, Ален Чалмерс, пишет [4]: "Второе, что нужно отметить, это то, что модель Максвелла не дает электромагнитной теории света, как указал Джоан Бромберг. В модели нет демонстрации того, как могут возникать поперечные электромагнитные волны. В самом деле, хотя модель Максвелла включает ток смещения, этот ток не создает магнитное поле так, чтобы возникали электромагнитные волны. ...Утверждение Максвелла о том, что "чем бы ни было электричество, и что бы мы ни понимали под движением электричества, явление, которое мы назвали электрическим смещением – есть движение электричества в том же самом смысле, что и прохождение определенного количества электричества через провод – есть движение электричества" оказалось полностью неверным. Таким образом, чрезвычайная сложность модели и невозможность с ее помощью описать все имеющиеся экспериментальные результаты, по-видимому, заставила отказаться Максвелла от "модельной трактовки адекватного объяснения" в пользу чисто математической.
Неспособность Максвелла создать адекватную модель, возможно, объясняется его общим неприятием гипотезы дискретного строения материи (несмотря на то, что его эфир вполне дискре-тен, или, точнее, имеет структуру). Вернемся опять к цитированию работы [4]: "На самом деле анализ статей Максвелла, очевидно, доказывает его общую оппозицию теориям атомных частиц. Например, в эссе, озаглавленном "Атом", он начинает с замечания о том, что "Маленькое твердое тело, выдуманное Лукрецием и принятое Ньютоном, было изобретено для целей объяснения неизменности свойств тел. Но оно не способно объяснить колебаний молекул, регистрируемых спектроскопом". Одновременно, Р.Андерсон [6] отмечает "чисто математическую подоплеку" неприятия Максвеллом атомистического подхода: "Когда Максвелл впервые выпустил работу о представленном Фарадеем подходе к рассмотрению явлений в математической форме, он заметил в Предисловии, что подход Фарадея, основанный на взаимодействии через среду и силовых линиях, похож на методы, в которых "мы исходим из целого и приходим к частному с помощью анализа". С другой стороны, "обычные математические методы" начинают с частностей и строят целое с помощью синтеза. Они ассоциируются с математиками, рассматривающими центры силы, действующей на расстоянии. ...В "наиболее естественном" подходе математики рассматривают вселенную как созданную из частей и начинают с одной частицы, рассматривая ее взаимоотношение с остальным. Для Максвелла, однако, это включает процесс абстракции, предположения другого способа рассмотрения: "Чтобы представить себе частицу, однако, требуется процесс абстракции, так как все наши представления связаны с протяженными телами, так что идея целого в нашем сознании в данный момент является почти столь же первичной, что и индивидуальной вещи. Поэтому может существовать математический метод, при котором мы исходим из целого, двигаясь к частному, а не от частного к целому". Таким образом, даже приняв математическую трактовку адекватного объяснения, Максвелл находит общефилософские доводы, облеченные в сугубо математическую форму, в пользу отказа от гипотез взаимодействия на расстоянии.
В работе [7] Сальво Д’Агостиньо описывает взаимоотношение двух подходов в электродина-мике: "Во второй половине девятнадцатого века две великие теории науки об электричестве – электромагнетизм Джеймса Кларка Максвелла и Генриха Герца исключили дискретность частиц из числа фундаментальных концепций. Обе теории выдвигали на первый план непрерывность и локальность вместо тех особенностей дискретности и действия на расстоянии, которые были характерны для "молекулярной" электродинамики Вильгельма Вебера и Германа фон Гельмгольца. Из-за этих общих особенностей теорий Максвелла и Герца кажется подходящим назвать их чисто полевыми теориями". Генрих Герц последовательно исключал концепцию тока конвекции из своей электродинамики. Можно сказать, что Герц хотел исключить из своей континуальной полевой теории не только конвективную концепцию тока, но и дискретность любых видов частиц. На самом деле он отвергал атомистический подход в своем проекте придания новой фундаментальной формы механике. Как он указывал в 1894 в своих "Принципах Механики", "В некоторых случаях мы имеем определенные указания относительно размеров этих атомов и их движения. Но форма атомов, их соединение, их движение в большинстве случаев полностью неизвестны нам; их число во всех случаях неизмеримо велико". Таким образом, атомистическая концепция "не является достаточно разумной, специально подходящей, чтобы служить нам известным и надежным основанием для математических теорий".
"Как хорошо известно, ситуация быстро менялась в течение 1890-х и закончилась триумфом атомизма. Новые теории вскрыли плодотворность корпускулярного подхода к электричеству и всей физике в целом, как показали явления разряда в разреженных газах и спектральный анализ. Открытие электрона явилось одним из главных результатов" [5]. В [6] Д’Агостиньо пишет: "С самого начала своей научной жизни в своей докторской диссертации 1875 года Лоренц выразил свое убеждение в том, что в будущем "когда уравнения движения электричества... будут записаны в форме, которая будет более близка к реальности и подвергнута многочисленным экспериментальным проверкам, будет возможно вывести (уравнения Максвелла) прямо из рассмотрения этих молекулярных сил". ...В 1909 Лоренц опубликовал свою теорию электронов в книге, которая обобщила его исследования по электродинамике и может рассматриваться как "главный труд" классической электродинамики. Хотя он декларировал, что его теория была продуктом великих теорий электричества Майкла Фарадея и Максвелла, он также подчеркнул и различия между ними. ...В теории Лоренца аппарат уравнений в частных производных используется наравне с ньютоновыми уравнениями движения в обыкновенных производных, и эта комбинация дала большую предсказательную силу всей математической структуре, что очевидно, например, при вычислении средних. ...Лоренц также объяснял свое приятие методов молекулярных гипотез на базе новой роли математики в физике. Как он писал, "таким образом, математические соотношения заняли превосходящее место". Включением в Евклидову систему координат как уравнений в частных, так и уравнений в полных производных, математическая структура отразила сложную физическую структуру, суперпозицию сил и полей".
И далее [6]: "Тем не менее, историк не может не отметить, что эти достижения явились плодом мутаций в теоретическом и экспериментальном контексте, а не результатом последовательного развития. Как показано выше, мы не можем найти в теории Лоренца ничего, что может быть идентифицировано с током смещения Максвелла и Пойнтинговым потоком Герца. Напротив, Лоренцев конвективный ток и Лоренцева поляризация были чужды теориям Максвелла и Герца. Другими словами, концепции Максвелла не могут быть обобщены так, чтобы включать концепции Лоренца и, аналогично, силы Герца как поля в вакууме чужды теории Лоренца. Следовательно, концептуальная структура теории Лоренца не представляет обобщения теорий Максвелла и Герца". Наконец, общий вывод таков: "Хотя теоретическое обобщение в смысле постоянного развития концепций часто представляется фундаментальным атрибутом прогресса теории, эта форма обобщения лишь иногда представляет процесс, характеризующий динамику развития теории. ...В отличие от мутаций физических концепций имеется впечатляющее постоянство в математической структуре физики, т.е. форме, в которой физические законы представлены математическими уравнениями. ...Изучая форму этих уравнений, осознаешь, что математический формализм представляет высокий уровень непрерывности в ходе изменения физических концепций. ...В противоположность изменению концептуальных структур в результате эволюции культуры математика может таким образом рассматриваться как один из "артефактов", которые, согласно Юргену Ренну, передаются от поколения к поколению для обеспечения непрерывности развития науки". Следует отметить, что Эйнштейн очень высоко ценил именно математический, дедуктивный аспект познания мира. Процитируем [7]: "Я убежден, что чисто математические конструкции позволяют найти понятия и связывающие их законы, которые дают ключ к явлениям природы. Опыт, разумеется, может руководить нашим выбором нужных математических понятий, но он практически не может быть источником, из которого они вытекают. В известном смысле я считаю истиной, что чистая мысль способна ухватывать реальное, как об этом мечтали древние".
Тем не менее, без совершенствования "концептуальных структур", т.е. без исследования некоторых моделей механизма взаимодействия прогресс в развитии физики вряд ли возможен. Чалмерс, приводит весьма показательное воспоминание [4]: "Я помню, как меня спросили на школьной площадке: "что такое электричество?" Я гордо и самоуверенно ответил: "электричество – это накопление и поток электронов". "Что такое электроны?" – был следующий вопрос моего инквизитора. "Отрицательно заряженные частицы", – ответил я. "Заряженные чем?" был торжествующий ответ моего собеседника, который знал, что поймал меня, и уже не дожидался ответа". Следует признать, что мы и сейчас знаем не больше его о том, что же такое собственно электричество, несмотря на триумф классической электродинамики, достигнутый в работах Лоренца. В этой связи представляется актуальным ответить на следующие два вопроса: допускает ли электродинамика Максвелла какую-либо модельную интерпретацию, отличную от его собственной, и обладает ли подобная интерпретация какой-либо эвристической ценностью. Дополнительным, но не менее важным вопросом является вопрос о соответствии выводов СТО этой модельной интерпретации.
Опуская описание эволюции взглядов самого Эйнштейна, приведем лишь короткую цитату из воспоминаний В.Гейзенберга [8]. Он приводит его диалог с Эйнштейном о наблюдаемых величинах: " Но неужели вы всерьез думаете, – возразил Эйнштейн, – что в физическую теорию можно включать лишь наблюдаемые величины? – А разве не вы сами, – спросил я в изумлении, – положили именно эту идею в основу своей теории относительности? Вы ведь подчеркивали, что нельзя говорить об абсолютном времени потому, что это абсолютное время невозможно наблюдать: для определения времени значимы лишь показания часов, будь то в подвижной или в покоящейся системе отсчета. – Возможно, я и пользовался философией этого рода, – ответил Эйнштейн, – но она тем не менее чушь. Или, сказал бы я осторожнее, помнить о том, что мы действительно наблюдаем, а что нет, имеет, возможно, некоторую эвристическую ценность. Но с принципиальной точки зрения желание строить теорию только на наблюдаемых величинах совершенно нелепо".
Преобразования Лоренца
Поясним прежде всего, что означает утверждение о "техническом характере" преобразований Лоренца (ПЛ) в электродинамике Максвелла, использованное в части 1 настоящей статьи [1]. Выражения для полей равномерно движущегося заряда могут быть получены путем прямого решения волновых уравнений для потенциалов [2], которое доказывает галилей-инвариантность этих выражений. Однако использование ПЛ существенно проще прямого решения, в котором используется аппарат преобразования Фурье обобщенных функций. Но решение можно получить и альтернативным способом, частично раскрывающим физический смысл ПЛ.
Предположение о сохранении потенциального характера силы [1] позволяет находить решения, без волновых уравнений для потенциалов равномерно движущегося заряда, а пользуясь уже известными решениями. В самом деле, из него (предположения) и 2-го из естественных определений (1.8) из [1]: − следует (по формуле 2-го векторного произведения), что:
Воспользовавшись разложением вектора в виде суммы его проекций на единичный вектор и перпендикулярный ему , получим:
Взяв дивергенцию от обеих частей этого равенства, получим уравнение:
(1.1)
Характерно, что аналогичный результат получится, если в волновом уравнении для скалярного потенциала предположить "галилееву" зависимость от времени . Тогда:
так что волновое уравнение переходит в: (1.2)
Как легко видеть,действительно равен.
Очевидно, что, преобразовав квадратичные формы, стоящие в правых частях (1.1) и (1.2) к каноническому виду, мы получим для (или ) уравнение Пуассона, решение которого известно. При этом аргумент решения – не , а , что вытекает из требования галилей-инвариантности и прямо постулировалось при выводе (1.2), хотя в явном виде в (1.1) и не использовалось.
Преобразование данных квадратичных форм к каноническому виду известно, и наиболее простой способ состоит в следующем. Повернем систему координат вокруг начала координат так, чтобы одна из осей, например Х, совпала с направлением скорости. Тогда . При этом слагаемое перейдет в , так что уравнение (1.2) будет выглядеть так:
(1.3)
Если теперь изменить масштаб по оси Х – растянуть ее в раз, то тем самым приведение к диагональному виду будет закончено. Множитель появляется из-за необходимости нормировки базиса [9], так как – есть собственное значение матриц квадратичных форм (1.1) и (1.2) (другие собственные значения равны 1). Квадратная матрица, приведенная к диагональному виду дополнительным преобразованием , приводится к каноническому виду: , где = 1,−1 или 0, если соответствующее собственное значение положительно, отрицательно или равно 0. Таким образом, это дополнительное преобразование не накладывает никаких ограничений на , надо только помнить, что под радикалом стоит модуль, а при и . Итак:
(1.4)
( появляется потому, что аргумент равен ,
a не , как было отмечено выше). Разумеется, такое изменение масштаба возможно при .
Заметим, что изменения масштаба времени не требуется, хотя для приведения обобщенного даламбертиана [2] к каноническому виду такое изменение необходимо из-за наличия члена .
Фундаментальное решение оператора Лапласа хорошо известно, поэтому
(1.5)
т.е. результат мог быть получен сразу, без формальной процедуры решения волнового уравнения. Для получим и далее, используя определения полей через потенциалы, получим классические выражения для полей равномерно движущегося заряда.
Возвращаясь к уравнению (1.3), вспомним, что оно само по себе не накладывает никаких ограничений на . На самом деле, при решения существуют и находятся очень легко. При уравнение (1.3) вырождается в двумерное уравнение Пуассона, решение которого
(1.6)
представляет собой плоский фронт, перемещающийся вдоль Х со скоростью с и логарифмически стремящийся к −∞ при y, z → ∞ и к +∞ при y, z → 0. Поля же при этом тождественно равны 0 за исключением плоскости x = c t, т.к. . Тот же результат получится, если просто положить в решении (1.5) , т.к. при (в числителе же стоит ). Таким образом, решение (1.5) непрерывно при β=1. (Можно также убедиться в правильности решения,
исходя из определений: но для β=1.)
При уравнение (1.3) становится нормально-гиперболическим, т.е. формально совпадает с двумерным волновым уравнением с заменой t на х, а с−2 на :
Решение такого уравнения так же хорошо известно:
(1.7)
Сравнивая (1.7) с (1.5), убеждаемся в их почти полном совпадении с точностью до требования неотрицательности , стоящего под радикалом (в противном случае -функция обращается в 0), и появления 2 в числителе (1.7), обусловленной тем, что поле теперь существует лишь в полупространстве, точнее в конусе с вершиной в месте нахождения заряда, перемещающейся со скоростью v вдоль оси Х, и углом между образующей и осью Х, равным . При поле занимает почти все полупространство впереди движущегося заряда, а при сосредотачивается в луче вдоль Х. Напряженности полей и при этом содержат как сингулярные слагаемые (), связанные с границей конуса, так и регулярные внутри конуса, совпадающие с (1.5) с точностью до изменения знака и множителя 2. Закончим на этом анализ решения (1.7). (Обсуждение эффекта Вавилова-Черенкова и его связь с полученным решением выходит за рамки данной работы.)
Использованная выше замена переменных еще не является ПЛ в полном смысле – время не изменялось. Если же изменить время в соответствии с ПЛ и повторить выкладку (1.4) из [1], но уже с ПЛ, а не ПГ, получим неожиданный результат. Применение ПЛ в общем виде (без специальной ориентации осей координат) к системе УМ дает совершенно другую, крайне сложную для восприятия систему, так что говорить об инвариантности УМ относительно ПЛ в общем случае не приходится. Не буду утомлять читателя приведением точных выражений – выкладка сама по себе проста, но громоздка и утомительна, констатирую лишь факт неинвариантности УМ относительно ПЛ в общем случае. (Желающие могут убедиться в этом сами.)
С другой стороны, при специальном выборе базиса, т.е. ориентации его осей относительно скорости движения новой системы координат, УМ оказываются лоренц-инвариантными. В чем же здесь дело? Как было показано в части 1, УМ галилей-инвариантны в форме (1.4) из [1], т.е. в виде, где в правых частях уравнений 1 и 3 стоят новые поля: и , отвечающие "естественным определениям", а не и , как хотелось бы для "полной инвариантности". Однако, если ввести новые поля в соответствии с этими определениями, т.е.:
так что
(1.8)
,
и разрешить их относительно и :
так что
и
(в последних равенствах мы воспользовались формулой двойного векторного произведения), то видно, что при специальном выборе базиса возможно введение новых, симметризованных относительно определений полей, которые обеспечат "полную инвариантность". (В общем случае невозможно избавиться от продольных членов – и .) В самом деле, если скорость имеет лишь одну составляющую, например , то:
так что:
Симметризация состоит в том, что естественные определения (1.8) заменяются "взвешенными" на :
(1.9)
В самом деле, из (1.9) следует, что:
Легко видеть, что "штрихованные" и "не штрихованные" компоненты полей действительно выражаются друг через друга симметричным относительно образом.
Однако, само по себе введение новых, "симметризованных" определений полей еще не решает задачу получения преобразований, обеспечивающих "полную инвариантность", а только дает вид полей при этих преобразованиях в случае специального выбора базиса. Причем этот вид определяется, исходя из "естественных определений", полученных при применении ПГ. Это является косвенным доводом в пользу единственности искомых преобразований в силу того, что УМ в форме (1.4) из [1], инвариантные относительно ПГ, единственно верны.
Получение самих преобразований в случае знания выражений для преобразованных полей не представляет труда. В самом деле, используя эти выражения, например для Х-й компоненты электрического поля, получим, что 1-е уравнение системы УМ должно выглядеть так (свободное поле, т.е. ):
(1.10)
Нетрудно заметить, что, если ввести новые переменные – , такие, что и , то в силу уравнение останется неизменным - просто сократится . Простейшим способом такого введения были бы равенства:
Тогда . Но, при введении таких новых, "несимметричных" переменных при использовании "симметризованных определений" полей в уравнениях для дивергенций появятся лишние, ничем не скомпенсированные члены. Например, в уравнении для дивергенции электрического поля появится Х-я компонента ротора магнитного и наоборот. Общая идея симметризации подсказывает, что и новые переменные должны быть симметричны относительно и :
(1.11)
так что При этом все уравнения системы УМ окажутся перемешаны в отличие от преобразованной с помощью ПГ системы, когда, по крайней мере, уравнения для дивергенций остаются без изменений. Тем не менее, это ни в коей мере не мешает приведению полученной системы к каноническому, "инвариантному" виду. Вспомним, что в [1] мы уже использовали этот способ. Аналогично и в этом случае, вычтя из преобразованного уравнения для дивергенции электрического поля
умноженное на уравнение (1.10), получим . С помощью схожих преобразований и все остальные уравнения приводятся к каноническому виду. Впрочем, конгруэнтное преобразование, использованное Минковским [1], позволяет не думать об этих несложных преобразованиях. Искомые выражения для полей в движущихся системах получаются при совместном применении конгруэнтного преобразования УМ и координат с помощью ПЛ при специальной ориентации пространственных осей координат, чего в случае применения ПГ, очевидно, недостаточно – нужно решать систему уравнений.
В случае наличия токов и свободных зарядов одной замены переменных уже недостаточно для приведения УМ к каноническому виду, как было при применении ПГ. Описанная выше выкладка дает в этом случае: где , и, аналогично: Y-я и Z-я компоненты тока остаются без изменений. Таким образом, в случае ПЛ, помимо замены переменных необходимо еще и требование изменения тока и плотности заряда для обеспечения "полной инвариантности" УМ. Это на самом деле не сильно меняет ситуацию, но лишний раз подчеркивает "технический" характер ПЛ как удобных формул замен переменных с точки зрения математического аппарата электродинамики Максвелла. С точки зрения СТО физический смысл ПЛ – принципиально другой и подробно объяснен в многочисленных учебниках и оригинальных работах, начиная с классической статьи Эйнштейна.
Уравнения движения в Электродинамике Максвелла. Динамика СТО
Вернемся теперь к последнему, заключительному замечанию части 2 настоящей статьи [2]. Неинвариантность выражения для силы взаимодействия движущихся зарядов относительно ПГ или ПЛ является следствием выражения для силы и характера модели. Заметим, что сами по себе УМ не дают ответа на вопрос о силе, действующей на произвольно движущийся пробный заряд. Они лишь позволяют вычислять поля при заданных распределениях плотностей зарядов и токов, либо же определять распределения этих плотностей при заданных полях. При этом предполагается, что сами поля могут быть экспериментально определены по их воздействию на покоящийся единичный заряд или же покоящийся "магнитный заряд". Сила Лоренца вводится в теорию аксиоматически, дополняя и завершая, таким образом, аксиоматическое построение электродинамики. С другой стороны, формула Лоренца является следствием применения лагранжева формализма в случае, когда функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле имеет вид [10]:
Уравнения Лагранжа − − приводят в этом случае к выражению
т.е. к формуле Лоренца при классическом определении полей через потенциалы. Сила взаимодействия движущихся зарядов нецентральна в отличие от силы взаимодействия покоящегося действующего и движущегося пробного зарядов.
Однако формула Лоренца противоречит бинарности взаимодействия, а значит, принципу относительности в строгом смысле, т.е. зависимости силы взаимодействия лишь от относительных расстояний и скоростей. В самом деле, так как скорости – как пробного заряда, так и зарядов, создающих магнитное поле, определены относительно покоящегося в лабораторной системе наблюдателя, то они не являются "взаимными" относительными скоростями этих зарядов. Между тем задача о силе взаимодействия зарядов, движущихся с одинаковыми скоростями, рассматривается практически во всех учебниках и сопровождается комментариями, якобы доказывающими справедливость СТО. Например, в [11, стр. 279-280] написано: "Применим найденные формулы к вычислению силы взаимодействия двух зарядов е1 и е2, движущихся с одинаковой (курсив – Н.Щитов) скоростью v относительно лабораторной системы отсчета.
До появления теории относительности полагали, что, наблюдая взаимодействие между движущимися зарядами, можно определить их абсолютную скорость по отношению к эфиру. Однако попытки измерений не привели ни к каким положительным результатам. ...В свете теории относительности ясна ошибка этих рассуждений: в формулы для силы, измеренной в лабораторной системе координат, входит лишь общая относительная скорость (курсив – Н.Щитов) обоих зарядов". Мало того, что ссылка на СТО здесь абсолютно не оправдана, так как формулы получены без применения аппарата СТО, так еще и фактически подтверждается существование абсолютной системы координат. В самом деле, скорость v не является относительной скоростью зарядов, которые движутся с одинаковыми скоростями, так что их относительная скорость равна нулю. Значит, "общая относительная скорость" – есть скорость относительно абсолютной системы или эфира .
При этом принцип относительности очевидно нарушается при формальном преобразовании alias: если наблюдатель движется относительно покоящихся (например, удерживаемых в равновесии связью) в лабораторной системе зарядов со скоростью – , то сила, вычисленная в соответствии с (3.1), изменяется, т.е. равновесие нарушается. Например, при и . Таким образом, если пользоваться формулой Лоренца, равновесие системы зарядов зависит от того, движется ли относительно них наблюдатель или нет, что находится в явном противоречии не только с принципом относительности, но и здравым смыслом. В случае преобразования alibi, когда не наблюдатель, но сами заряды начинают двигаться относительно эфира, изменение силы вполне возможно.
С другой стороны, принцип относительности в электродинамике Максвелла очевидно выполняется, если пользоваться правильной процедурой расчета полей, описанной в [2]. Другими словами, преобразование alias в случае системы зарядов, покоящихся относительно эфира, приводит к переходу к обобщенному даламбертиану, и решение остается чисто кулоновским [2]. В то же время, при применении этой процедуры в случае преобразования alibi, т.е. для зарядов, движущихся с одинаковыми скоростями относительно эфира, принцип относительности почти выполняется. В самом деле, изменение промежутка времени между последовательными приходами сферических фронтов в точку нахождения пробного заряда в данном случае отсутствует (см. формулу (2.4) из [2] и комментарии к ней). Расстояние между зарядами не изменяется в силу равенства нулю их относительной скорости. Так что скалярный потенциал, вычисленный в точке нахождения пробного заряда [2], не изменяется и остается кулоновским. Векторный потенциал, хотя и не равный нулю в силу движения действующего заряда относительно эфира, не содержит времени в явном виде в силу неизменности расстояния. Таким образом, электрическое поле равно просто градиенту скалярного потенциала (с обратным знаком), т.е. не отличается от поля в случае, когда заряды покоятся относительно эфира. Магнитное поле в точке нахождения пробного заряда не равно нулю в силу наличия векторного потенциала, но только при наличии составляющей скорости, перпендикулярной прямой, соединяющей заряды в силу равенства И в этом случае суммарная сила (сила Лоренца) равна по модулю Но это выражение описывает не что иное, как известное явление притяжения токов, текущих в одном направлении! В случае разнонаправленных скоростей получаем (с небольшими изменениями из-за изменения промежутка времени) отталкивание. Так что в виде контраргумента утверждению из [11] можно сказать, что наблюдение взаимодействия движущихся зарядов подтверждает наличие эфира, неявно присутствующее в электродинамике Максвелла, и позволяет измерить их абсолютные скорости. Это же означает, что теоретически возможно отличить преобразования alias от alibi, что фактически отрицается в СТО.
Если же относительная скорость зарядов не равна нулю, то, опять-таки, следует различать случаи покоя каждого из зарядов относительно эфира. Применение "правильной процедуры", подразумевающей вычисление потенциалов в точке нахождения пробного заряда, позволяет учесть движение пробного заряда при покоящемся (относительно эфира) действующем с помощью формулы (2.4) из [2]: без какого-либо изменения выражения для импульса. Как легко видеть, в данном случае уже появляется зависимость от продольной составляющей скорости: если пробный заряд удаляется от действующего, то промежуток времени между приходами фронтов увеличивается, а значит, сила должна уменьшаться, и наоборот. Таким образом, учет конечности скорости взаимодействия в случае справедливости электродинамики Максвелла не требует изменения выражения для импульса, т.е. введения релятивистской динамики. В случае покоящегося относительно эфира пробного заряда при движущемся действующем ускорение рассчитывается в соответствии с выражениями для полей равномерно движущегося заряда.
Но и при использовании релятивистской динамики так же получаем отличие случая движущегося действующего заряда при покоящемся пробном от противоположного (относительная скорость зарядов – ), т.е. невыполнение принципа относительности. Обозначим скорость и время в системе действующего заряда не штрихованными буквами, а в системе пробного – штрихованными. Движение происходит по прямой, для определенности – по оси Х. В системе действующего заряда уравнение движения пробного имеет вид:
Напротив, в системе пробного заряда уравнение движения рассчитывается в соответствии с выражением для электрического поля равномерно движущегося заряда:
Отличие ускорений в разных системах (их отношение) составляет, как видно:
Можно, конечно, говорить о том, что в соответствии с релятивистской динамикой ускорения в разных системах не совпадают, но расчет показывает, что учет этого обстоятельства не приводит к выполнению принципа относительности. В самом деле [4]
т.к.
Более того, релятивистская динамика требует уменьшения ускорения при нарастании скорости вне зависимости от того, приближается ли пробный заряд к действующему или удаляется, тогда как "правильная процедура" очевидно дает разные результаты в этих двух случаях. Можно было бы привести соответствующие формулы (читатель сам их может вывести без труда), если бы не сделанная выше оговорка о справедливости электродинамики Максвелла (включая выражения для сил) вообще.
Данная оговорка проистекает из примера, приведенного в заключительном замечании [2], а именно центральном характере силы в системе, в которой пробный заряд покоится относительно эфира, а действующий – движется. Из общих соображений следует, что центральность силы в этом случае может сохраняться только при отсутствии поперечной (прямой, соединяющей заряды) составляющей скорости. А между тем, даже "правильная процедура", а в данном случае она сводится просто к вычислению полей равномерно движущегося заряда, дает только центральную составляющую в силу формулы Лоренца.
В случае использования релятивистской динамики выполнение принципа относительности (в определенном ниже смысле) возможно только при изменении выражения для силы. В самом деле, градиент скалярного потенциала уже содержит нецентральную составляющую:
(2.2)
При этом, если скорости пробного и действующего зарядов совпадают, то (2.2) уже соответствует формуле Лоренца. Если использовать релятивистское выражение для скорости изменения импульса:
(2.3)
то ускорение не будет зависеть от именно в случае, если сила рассчитывается согласно (2.2), скорости зарядов совпадают и , когда . Тогда при и, следовательно, получаем тождество:
т.к. .
(Здесь вычислено согласно (2.3), а – (2.2)). Только в этом случае принцип относительности выполняется в том смысле, что скорость изменения импульса пробного заряда, покоящегося относительно действующего, не зависит от их движения относительно эфира (наблюдателя), если это движение перпендикулярно прямой, соединяющей заряды. Во всех других случаях принцип относительности даже в этом смысле не выполняется. Таким образом, мы получили отсутствие притяжения/отталкивания токов при применении аппарата СТО, но с изменением выражения для силы.
В общем случае , если пользоваться формулой Лоренца, при переходе от одной системы к другой (вне зависимости от того, какими преобразованиями пользоваться – ПГ или ПЛ) сила изменяется, становясь центральной только в системе, где один из зарядов покоится. Ускорение также изменяется вне зависимости от того, как оно рассчитано – в соответствии с ПГ или ПЛ:
(2.4)
Это выражение получено при использовании тождеств и Характерно, что только при таком вычислении изменения импульса уравнение движения является инвариантным относительно ПЛ. Инвариантность при этом понимается как сохранение формы выражения:
т.е. формулы Лоренца в правой части. Сила же и ускорение – реально измеримые в эксперименте величины – изменяются. Если же просто вычислить ускорение в соответствии с ПЛ для скорости и времени, то уравнение движения становится неинвариантным относительно ПЛ. Понятно, что для компенсации изменения силы левая часть должна содержать член, пропорциональный напряженности поля (второе тождество), что возможно только при использовании зависимости изменения энергии от поля. Итак, изменение выражений для импульса и энергии дает только половинчатый эффект, так как, сохраняя форму уравнения движения относительно ПЛ, все же не устраняет нарушения принципа относительности.
И все же Эйнштейн в главном прав! А именно в утверждении о фундаментальной роли постоянной (предельной) скорости света. Однако относительно чего эта скорость измеряется?! В случае принятия в том или ином виде гипотезы абсолютного пространства (эфира) такой вопрос не возникает. При этом и процессы в системе, движущейся относительно эфира, должны замедляться, и ускорение должно стремиться к нулю (или масса возрастать до бесконечности) при стремлении скорости движения к скорости света. По мнению автора, для построения "единой теории поля" помимо первого постулата Эйнштейну оставалось сделать лишь один маленький шаг. И главная загадка состоит в том, почему именно Эйнштейн, предложивший гипотезу квантов, убежденный сторонник атомистической точки зрения, его не сделал? Но это уже тема другой статьи.
ЛИТЕРАТУРА
Щитов Н. Относительность в электродинамике Максвелла. Часть 1.– Фотоника, 2011, № 4.
Щитов Н. Относительность в электродинамике Максвелла. Часть 2.– Фотоника, 2012, № 1.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.‒ М.: Мир, 1976.
Chalmers A. Maxwell, Mechanism, and the Nature of Electricity. – Phys. perspect. 3, p. 425–438. – Basel:Birkha¨user Verlag, 2001.
Anderson R. Exploring the mathematical and interpretative strategies of Maxwell’s Treatise on Elec-tricity and Magnetism. – Endeavour, 2001, v. 25(4).
Salvo D’Agostino. On the Difficulties of the Transition from Maxwell’s and Hertz’s Pure-Field Theo-ries to Lorentz’s Electron. – Phys. perspect. v.2, p. 398–410. – Basel:Birkha¨user Verlag, 2000.
Einstein A. Comment je vois le mond. – Paris: Flammarion, 1934.
Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. – М.: Наука, 1989.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1974.
Ландау Л., Лифшиц Е. Краткий курс теоретической физики. Книга 1. – М.: Наука, 1969.
Левич В. Курс теоретической физики. Том 1. – М.: Наука, 1969.
Cornille P. Review of the application of Newton’s third law in physics.‒ Progress in energy and combustion science, 1999, v.25, p.161-210.
Отзывы читателей
